(#119) CONJUNTO DE NÚMEROS
El conjunto A está formado por más de 7 números naturales. El mínimo común múltiplo de dichos números es 390 y el máximo común divisor de dos números cualesquiera del conjunto es mayor que 1. El producto de todos los números de A no es divisible por 160 y no es la cuarta potencia de ningún número entero. Hallar los números que forman el conjunto A.

mano_dSolución
En primer lugar buscamos los factores de 390 = 2 * 3 * 5 * 13 y los de 160 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5. Quiere decir que en por lo menos los 8 números del conjunto A, no debe intervenir el 2 en más de 4 veces, si interviene el 5 aunque sea en 1
Ahora bien, como el 390 tiene sólo 4 factores, podemos obtener la siguiente cantidad de números, que no sobrepasen al 390
  • 1 utilizando 4 factores = 390
  • 4 utilizando 3 factores = 195 30 78 130
  • 6 utilzando 2 factores = 6 10 26 15 39 65

  • No se puede utilizar un solo factor ya que entonces como son primos no habría máximo común divisor que sea mayor que 1 con alguno de los otros que excluyan a ese factor.
    Vemos que en total son 11 números, pero el 2 interviene en 7 de ellos, debemos excluir 3 números que posean al 2 como factor. La única posibilidad es excluir a los 3 números que incluyen al 2 como factor y sólo poseen 2 factores, ya que si no, si dejáramos alguno, por ejemplo 6 (2*3), no tendría común divisor con el formado por los otros 2 dígitos (5*13) = 65, lo mismo ocurre si dejamos al 10 = 2*5, con el 39 = 3*13, y si dejamos al 26 = 2*13 con el 15 = 3*5, por lo tanto debemos excluir al 6 10 y 26
    Quedan entondes 390 195 30 78 130 15 39 65.
    La multiplicación de todos ellos es = 879685940250000
    Este número no es divisible por 160, y no es potencia cuarta de ningún número entero.
    Saludos

     
      (#119) Conjunto de números