(#120) VOLUMEN ENGENDRADO POR UNA PARÁBOLA
Una parábola tiene el foco en el punto F(2,2) y es tangente a OX en el punto P(4,0) y a OY en el punto Q(0,4). Se desea calcular el volumen engendrado por el segmento parabólico determinado por dicha parábola y la cuerda PQ al girar alrededor del eje OX

mano_dSolución
a) Calculemos la ecuación de la directriz.
Esta responde a la ecuación. Seguidamente hemos de hallar el valor de C. Como se trata de una parábola, tiene que ser BF = BB´ o sea:
elevando al cuadrado y despejando C resulta C = 0; así que la directriz OD tiene de ecuación x + y = 0.

b) Ecuación de la parábola.
Sea el punto genérico de la parábola el P(x,y). Por definición tiene que ser PD = PF:

Resolviendo esta ecuación de la que nos quedamos con que representa la rama desde B, pasando por V, A, ...

c) Se nos pide el volumen generado por la región limitada por AFBV al girar sobre el eje X. Usaremos el cálculo integral.
El volumen que genera AB es un cono de radio-base OB y altura OA

A este volumen hay que restar el que genera entre 0 y 4 la curva al girar sobre el eje X, que vale:
El volumen que se pide es

La solución de Carlos Álvarez   
Un poco de intuición geométrica nos ayuda a abreviar la resolución analítica del problema.
F pertenece a la bisectriz del primer cuadrante y P y Q son simétricos respecto de este eje y tienen tangentes simétricas respecto de dicha bisectriz. Es decir, vemos que el eje focal ha de ser la recta: f: y - x = 0
Como la recta directriz ha de ser perpendicular al eje focal, su ecuación será de la forma: r: x + y + c 0 = 0
Sea d la distancia euclídea definida del modo usual. Como la excentricidad de la parábola es 1 ha de verificarse que:
Podríamos probar con los dos valores de c 0 y ver cuál de ellos es el que cumple las condiciones del problema. Otro poco de intuición geométrica nos da la respuesta. Como la distancia del vértice al foco ha de ser igual que la distancia del vértice a la recta directriz, c 0 = - 8 nos da el vértice en el punto (-1, -1), con lo que los ejes coordenados no podrían ser tangentes a la parábola (el vértice de nuestra parábola resultará ser el (1, 1) para c 0 = 0).
La recta directriz es: r: x + y = 0
Sea (x, y) un punto genérico de la parábola, su ecuación verifica:
que es la ecuación de la parábola. Podemos obtener su ecuación en forma explícita (lo que nos interesará para calcular posteriormente el volumen de revolución buscado):
Pretendemos calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el segmento parabólico determinado por esta parábola y la cuerda PQ, que es la zona punteada del dibujo.
La ecuación de la recta que contiene a la cuerda PQ es: f 1(x) = 4 - x
El arco de parábola, imponiendo a la ecuación explícita de la curva que contenga a los puntos extremos P y Q, verifica f 2(x) = x + 4 - 4 (x) 1/2
El volumen de revolución buscado es:
que es la solución del ejercicio.

 
  (#120) Volumen engendrado por una parábola