(#124) La hormiga y la goma
Una hormiga parte del extremo de una goma elástica de 1 metro de longitud y avanza hacia el otro extremo a una velocidad de 10 cm/s. Cada segundo, y de forma instantánea la goma se alarga un metro, lo que hace que la hormiga aumente el espacio recorrido, según el lugar donde esté aunque lógicamente menos de un metro. ¿Logrará la hormiga llegar hasta el final de la goma elástica?. Si es así, ¿cuánto tiempo tardará en hacerlo?

mano_dSolución de Francisco Molina
Dado que la goma mide 1 metro y la hormiga avanza a 10 cm/s tenemos, que al cabo de 1 segundo habrá recorrido 1/10 de la longitud de la goma. Justo en ese momento la goma se estira un metro, pero como se estira por igual en toda su longitud, la hormiga seguirá teniendo recorridos 1/10 del total (que ahora son 2 m).

Durante el siguiente segundo la goma mide 2 metros y la hormiga avanza a 10 cm/s, luego recorrerá 1/20 del total. Y justo en ese momento la goma se estira hasta los 3 metros. Por tanto, la hormiga tendrá recorridos 1/10 + 1/20 del total.

Durante el siguiente segundo la goma mide 3 metros y la hormiga recorrerá 1/30 del total...

Siguiendo con este razonamiento, la hormiga llegará al final de la goma un instante antes del segundo n o en el segundo n; siendo n respectivamente el menor valor que hace que la suma

1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40 + ... + 1/10n
sea mayor o igual que 1.

Es decir, es el valor n mínimo tal que

Con lo cual sólo hay que ver, a partir de que sumando la serie armónica es mayor que 10. Además como sabemos que esta serie es divergente, estamos seguros de que llegará.
Este valor de n lo calculamos experimentalmente y resulta que es n = 12367. Luego la hormiga alcanzará el extremo de la goma cuando ésta mida 12.366 metros, si es que no se cansa antes de las 3 horas, 26 minutos y casi 7 segundos que tardaría en recorrerla.


mano_dSolución de Carlos Álvarez
Inicialmente (n = 0), el espacio recorrido por la hormiga es s = 0 y la longitud de la goma es l = 10 (usaré decímetros, pero no indicaré la unidad por comodidad).
A partir de ahí, la hormiga avanza una unidad por segundo pero, transcurrido el mismo, la goma (hacemos la hipótesis de que homogéneamente) aumenta 10 unidades de modo instantáneo.
La cuestión es si con estas condiciones, improbables pero matemáticamente entretenidas, la hormiga recorre en algún momento un espacio s mayor o igual que la longitud l de la goma en dicho instante.
Tanteemos los primeros valores que adquieren ambas magnitudes:
  • En el primer segundo n = 1: s 1 = 1, l 1 = 10
    Justo al cumplirse el primer segundo, la goma dobla su tamaño, así como, proporcionalmente, el espacio que había recorrido la hormiga: l 2 = 20, 1 = 2

  • En n = 2: s 2 = 2 + 1 = 2/1 + 2/2 = 3, l 2 = 20
    Instantáneamente la goma aumenta en 10 su tamaño y la hormiga aumenta el espacio que ha recorrido proporcionalmente:
  • En n = 3
    Y, análogamente
    Si reiteramos el razonamiento, veremos que el espacio recorrido por la hormiga y la longitud de la goma para intervalos temporales enteros y positivos vienen dados (justo en el instante previo al siguiente estiramiento) por:
    Por tanto, la respuesta a la pregunta de si la hormiga llegará hasta el final de la goma elástica equivale a determinar si existe algún valor de n a partir del cual:

    La serie expresada en este sumatorio se denomina serie armónica y es divergente aunque crece muy lentamente. Por tanto, existirá un instante en el que la hormiga alcance el segundo extremo de la goma (si ninguna circunstancia ajena a la matemática lo impide antes). El cálculo de dicho tiempo escapa a mis posibilidades computacionales y mi paciencia para hacerlo con calculadora.

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    Y yo certifico que en estos momentos Carlos no tiene tiempo.
    ¡Ah! Felicidades


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