(#126) Serie
Hallar la suma de la serie

mano_dSolución de Martín López
Calculemos el término general:
  • Para a 1 es 1
  • Para a 2 es 1 + 2 = 3
  • Para a 3 es 1 + 2 + 3 = 7, ...
  • Para a n será
El denominador es la suma de n números naturales consecutivos, el último de los cuales es
El primero de ellos será
y la suma
El numerador en n. Luego
Se trata entonces de calcular Puesto que (puede probarse fácilmete) (puedes ver una demostración intuitiva del caso general en María Gaetama Agnesi), la serie es convergente. Además
con error menor que a 100 = 0,0001
La suma es pues ~ 2 × 1,07671 ~ 2,15341

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
El numerador de la fracción n-esima es n , el denominador de la fracción n-esima es la suma de n términos de una p.a. cuyo primer término es a su vez la suma de los (n - 1) primeros números + 1; esto es n(n-1)/2 + 1 ... Dicha suma será por tanto:
n(n-1)/2 + 1 + n(n-1)/2 + 2 + ... + n(n-1)/2 + n = n × n(n-1)/2 + [1 + 2 +.... + n] =
= n × n(n-1)/2 + n(n+1)/2 = n × (n 2 + 1)/2
Así pues la fracción n-esima es y la suma propuesta es
Se trata pues de sumar dicha serie y multiplicarla por 2.

Consideremos la función de periodo 2 × pi

f(x) = cosh(x) definida en el intervalo [0, pi]

(Sobre ésta función puedes ver Funciones Hiperbólicas)

Dicha función es par (cosh(x) = cos(-x)) luego su desarrollo en serie de Fourier sólo tendrá términos en coseno




Resolvamos la integral por partes mediante el cambio
{u = cosh(x),    dv = cos(nx)dx}
resultando
La integral I 2 vuelve a resolverse por parte mediante el cambio
{u = senh(x),    dv = sen(nx)dx}
resultando
con lo que
Luego
de donde
Nuestra función periódica será

Haciendo x = pi resulta

con lo cual y nuestra serie para la que se obtiene un valor aproximado de 2.153348095


 
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