(#129) Los habitantes de Villa Horacia
El número de habitantes de Villa Horacia es en un cierto instante un cuadrado perfecto. Con 100 habitantes más sería un cuadrado perfecto más 1 y con otros 100 habitantes volvería a ser un cuadrado perfecto. ¿Cuántos habitantes tenía Villa Horacia en el momento inicial?

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Sea X 2 el numero de habitantes en ese momento :
La primera condición => X 2 + 100 = Y 2 + 1 => X 2 = Y 2 - 99
La segunda condición => X 2 + 200 = Z 2 => X 2 = Z 2 - 200

De ambas : Y 2 - 99 = Z 2 - 200 ó Z 2 - Y 2 = 101 ó (Z + Y)×(Z - Y) = 101

Las soluciones de esta ecuación en numeros enteros, estan en función de la descomposición de 101 en producto de 2 factores (única 101 = 1×101); asi (Z + Y)×(Z - Y) = 101×1 nos lleva al sistema:

Z + Y = 101
Z - Y = 1
Con soluciones Z = 51; Y = 50; que nos permiten determinar X 2 = 2401 que será el número de habitantes de la Villa

Saludos Carlos E. Muñico


mano_dSolución de Pablo Sussi
Sea y la población inicial de la villa.
Como la población es un cuadrado perfecto sea x 2 = y y tendremos
y + 100 = (x + z) 2 + 1
siendo z una variable auxiliar. Operando
x 2 + 100 = x 2 + z 2 + 2xz + 1
y operando resulta que sólo tiene 3 soluciones para z y x enteros positivos.
  • z = 1; x = 49 => y = 2401
  • z = 3; x = 15 => y = 225
  • z = 9; x = 1 => y = 1
Pero además
y + 200 = (x + t) 2
siendo t una variable auxiliar que, como z, es un número natural.
Operando resulta

De las tres posibilidades de x anteriores la única compatible es x = 49, t = 1 por lo tanto los habitantes eran 49 2 = 2401. Si fueran 100 más o sea 2501, es 50 2 + 1 y si fueran 200 más es 51 2 = 2601.
Saludos
Pablo Sussi



 
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