(#135) ... y una circunferecia
En una circunferencia de radio R las cuerdas AB y CD se cortan perpendicalarmente tal como se indica en la figura. Hallar el valor de AC 2 + BD 2 en función de R.

mano_dSolución de Carlos Álvarez
Un ángulo interior a una circunferencia tiene una amplitud igual a la semisuma de los ángulos centrales correspondientes al arco interceptado por los lados del ángulo y al interceptado por sus prolongaciones.
Sea E el punto donde se cortan las cuerdas AB y CD, haciendo uso del teorema anterior:

Aplicando el teorema de coseno a los triángulos AOC y BOD obtenemos:

En definitiva:
AC 2 + BD 2 = 4 R 2

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Los ángulos ADC y DAB son complementarios, por lo que el seno de uno de ellos es el coseno del otro. Aplicando el teorema del seno a los triángulos ADC y DAB, se tiene,

elevando ambas igualdades al cuadrado y sumando, se tiene

AC 2 + BD 2 = 4R 2 (sen 2(ADC) + sen 2(DAB) = 4R 2

La solución de José Carrión
En el triángulo PDB se verifica PD 2 = 4 R 2 - BD 2
En AQC
AC 2 = AQ 2 + QC 2
AC = PD pues AP es paralela a CD por construcción.
Luego
BD 2 + AQ 2 + QC 2 = 4 R 2
BD 2 + AC 2 = 4 R 2

 
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