(#136) Circunferencias tangentes
Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto C. Los puntos A y B son de tangencia con la recta AB y tales que CA = 6, CB = 8. Determinar el radio de cada circunferencia.

mano_dSolución
Prolongamos la recta que pasa por A y B y la recta que pasa por los centros de las circunferencias y llamamos P al punto de corte. Llamamos a los centros de las circunferencias D y E.
Primero vemos que el ángulo ACB es recto:
El segmento AD es paralelo a BE, entonces si llamamos a al ángulo ADC, tendremos que el ángulo CEB es (180 - a).
Como el triángulo DAC es isósceles, el ángulo DAC será (90 - a/2).
Y del mismo modo, el ángulo CBE es a/2. Luego CAB es a/2 y CBA (90 - a/2). Y de aquí tenemos que el ángulo ACB es recto.
Usando el teorema de Pitágoras calculamos la longitud del segmento AB (sale 10). Prolongamos el segmento AC hasta que corte a la circunferencia de la derecha en el punto F. Ahora el triángulo ABF es rectángulo con ángulo recto en B.
Si llamamos R al radio de la circunferencia de la derecha y b al FAB, tenemos que tan(b) = 2R/10. Y si nos fijamos en el triángulo ABC tenemos que tan(b)= 8/6. Luego finalmente R = 20/3.
Análogamente podemos prolongar el segmento BC y con el mismo procedimiento encontramos que el valor del radio de la otra circunferencia es r = 15/4.
Solución de José Carrión
Demostremos, en primer lugar, que el ángulo ACB es recto
ACD = ACF + FCB = 1/2 arco(CA) + 1/2 arco(CB) =
= 1/2 CDA + 1/2 CEB = 1/2 (CDA + CEB) =
= 1/2 (CDA + 180º - CDA) = 90º
Luego y como F está situado sobre el eje radical de las circunferencias dadas
FA = FB = 5

Sean los radios DA = a, y EB = b. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABI

AI 2 = AB 2 + BI 2    luego
(a + b) 2 = 100 + (b - a) 2 -> ab = 25   #1

Los triángulos ACG y BCH son rectángulos semejantes, pues tienen dos lados paralelos y los otros dos en prolongación; por tanto

Teniendo en cuenta #1 elevando al cuadrado y simplificando queda 16 a 4 - 626 a 2 + 5625 = 0 que resuelta da dos soluciones (a,b) = (5,5) y (a,b) = (15/4, 20/3)

 
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