(#137) Distancia
Hallar, en función de R, la distancia OP de forma que el área engendrada por el segmento de tangente AP al girar en torno del eje OP sea el triple del área engendrada por el arco AB al girar en torno del mismo eje OP

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Llamemos Q al punto en que la perpendicular por A corta al segmento OP, y hagamos
x = OQ,    r = QA,    g = AP,    h = QB,     d = OP
El segmento AP genera la superficie lateral de un cono de revolución de generatriz g y radio de la base r, mientras que el arco AB genera un casquete esferico de altura h, perteneciente a una esfera de radio R.
Sea S 1 la superficie lateral del cono y S 2 la superficie del casquete esférico. Debe ser S 1 = 3 × S 2.
Tenemos que
S 1 = pi × r × g    S 2 = 2 × pi × R × h
De los triángulos rectángulos OAP y AQP, semejantes porque comparten el angulo en P, tenemos que
Por otra parte, g 2 = d 2 - R 2. Entonces
De los triángulos rectangulos OAQ y OAP, semejantes porque comparten el angulo en O, tenemos que
Entonces,
Aquí hemos supuesto d - R distinto de 0. Si d = R tenemos otra solución en la que ambas áreas valen 0.
Saludos
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)

mano_dSolución de José Carrión Beltrán
Sea C la proyección ortogonal de A sobre el diámetro. La superficie generada por AP es:
La superficie generada por el arco AB es
Por otro lado se tiene, sucesivamente
Teniendo en cuenta que la superficie del cono ha de ser el triple de la del casquete
Operando en esta última expresión, se llega a la ecuación. de segundo grado
OP2 - 6 × R × OP + 5 × R2 = 0
de donde OP = R; OP = 5 × R
La primera solución es trivial, y la segunda es la válida.
-jcb-
mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Sea R el radio de la circunferencia, y sea el ángulo SOA = m el que resuelve el problema:
Los triángulos rectángulos OAP; OSA; SPA son semejantes:
En el OSA => OA = R; AS = R × sen(m); OS = R × cos(m).

En el PSA => AS/PT = cosen(m) => PA = AS/cos(m) = R sen(m)/cos(m) = R × tang(m)

En el OAP => OA/OP = cos(m) => OP = R/cos(m)

La superficie de un casquete esférico de radio h en una esfera de radio R es: S =2 p R h
En nuestro caso h = OB - OS = R - R cos(m) = R (1 - cos(m)) con lo que la superficie del casquete esférico originado al girar el arco AB sobre el eje X, será:

S c = 2 p R 2 (1 - cos(m))
La superficie lateral de un cono es S = p r g donde r es el radio de la base y g la generatriz.
Al girar sobre el eje X el segmento PA origina un cilindro de radio de la base; AS = R × sen(m) y de generatriz PA = R × tang(m) por tanto la superficie lateral es:
S l = p R 2 sen 2(m)/cos(m)
Expresando la condición pedida 3 S c = S l resulta
6 p R 2 (1 - cos(m)) = p R 2 sen 2(m)/cos(m)
Simplificándola y poniendo el seno en función del coseno tenemos
6 (1 - cos(m)) = (1- cos 2(m))/cos(m)
Desarrollando la diferencia de cuadrados
6 (1 - cos(m)) = (1 + cos(m)) (1 - cos(m))/cos(m)
Simplificando
6 = 1 + cos(m)/cos(m) => 6 cos(m) = 1 + cos(m) => cos(m) = 1/5
Esto es m = cos - 1(1/5) hace que se dé la condición pedida y por tanto como m = cos - 1(1/5) => cos(m) = 1/5 y por tanto
OP = R/cos(m) = R/1/5 = 5R

 
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