(#138) La edad de mi hijo
¿Qué edad tenía mi hijo en el año 2000 sabiendo que dicha edad era igual a la suma de las cifras del año que nació?

mano_dSolución de Francisco de León-Sotelo
Sean 1,9,x,y los dígitos del año de nacimiento y por tanto 1000 + 900 + 10x + y el año de nacimiento. La edad de una persona la obtenemos restando el año que va corriendo menos su año de nacimiento. Esto es: 2000 - (1000 + 900 + 10x + y) que ha de ser igual a la suma de los dígitos del año de nacimiento 1 + 9 + x + y.

Nos queda

2000 - 1000 - 900 - 10x - y = 10 + x + y
y simplificando obtenemos 11x + 2y = 90.
La solución de ésta ecuación diofántica es
x = 2t    y = 45 - 11t
Teniendo en cuenta que x e y han de ser dígitos del sistema decimal de numeración el único valor posible para t es t = 4 con lo cual x = 8, y = 1 es decir que el año de nacimiento sería el 1981.
En efecto 2000 - 1981 = 19 = 1 + 9 + 8 + 1.
Saludos: Francisco de Leon-Sotelo y Esteban.

mano_dSolución de José Carrión Beltrán
Año de nacimiento 19ab
Edad del muchacho: 2000 - 1900 - 10a -b
Suma de las cifras: 1 + 9 + a + b
Ecuación: 2000 - 1900 - a - b = 1 + 9 + a + b; es una diofántica lineal. Simplificando: 11a + 2b = 90
Solución particular a = 2; a = 34
a = 2 + 2t;   b = 34 - 11t
Únicamente para t = 3 a y b son de una cifra.
Solución 1981
Saludo cordial.
jcb

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Sea el año 19ab, con a, b en {0, .. ,9}
La edad es
2000 - 19ab = 2000 - 1900 -10a - b =100 - 10a - b
Mientras que la suma de las cifras del año de nacimiento es
1 + 9 + a + b = 10 + a + b
Entonces,
100 - 10a - b = 10 + a + b ==> 90 = 11a + 2b
De aquí se deduce que a es par, y sólo puede ser 8, pues si es menor, b tendría que ser mayor que 9. Entonces b = 1, el año de nacimiento es 1981 y la edad 19.
Saludos

mano_dSolución de Juan Carlos Beltrán
Solución:
    Sea
    x: cifra de las decenas del año en que nació su hijo,
    y: cifra de las unidades;
    z: edad de su hijo en el año 2 000.
Como su hijo nació en el siglo XX, esta fecha sería 19xy, y la suma de las cifras de este número es
    10 + x + y = z    (1)
El año en que nació su hijo se puede escribir de la forma
Sumando (1) y (2), se obtiene
x e y representan números de una sola cifra, de tal modo que

mano_dSolución de Cesáreo Muñoz
Sea la edad del hijo C y sea su año de nacimiento 19XY donde X y Y son enteros del intervalo [0, 9].
La edad del hijo viene dada por:
1 + 9 + X + Y = 10 + X + Y = C
Pero también viene dada por la diferencia 2000 - 19XY, es decir, desarrollando el algoritmo de la resta tenemos que:
(9 - x) y (10 - y) son los dos dígitos de la edad del hijo, por lo que la edad de este se puede representar como una suma de decenas y unidades de la siguiente forma
10 ×(9 - X) + (10 - Y) = C
100 - 10 ×X - Y = C
Tenemos dos ecuaciones y tres variables, pero también tenemos dos restricciones, X y Y son enteros y dentro de un intervalo del 0 al 9. Si igualamos la edad C en ambas ecuaciones tenemos que:
10 + X + Y = 100 - 10 X - Y
Despejando con respecto a X tenemos
Si X es entero, el dividendo debe ser igual a un múltiplo de 11, esto significa que 90 - 2Y sólo puede ser igual a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 y 88. No puede ser ningún número superior a 90 ya eso implicaría que Y sea negativa.

El dividendo tiene el término 2Y; ésto implica que la diferencia 90 - 2Y debe ser par para que Y sea entera. Por tanto, nos quedan 22, 44, 66 y 88.

X y Y tienen que ser iguales o menores a 9. De los valores restantes, solamente en un solo caso se cumple esta condición para Y y es cuando igualamos 90 - 2Y = 88. Por tanto, Y = 1.

De la ecuación deducimos que el chico nació en 1981, en el 2000 el tenía 19 años y la suma de su año de nacimiento es

1 + 9 + 8 + 1 = 10 + 9 = 19

 
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