(#139) Magnitud constante
Mostrar que la suma de los cuadrados de las distancias desde el punto M, tomado en el diámetro de una circunferencia, hasta los extremos de cualquiera de las cuerdas paralelas al diámetro es un magnitud constante para la circunferencia dada.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa y Carlos álvarez Alberca
Por el teorema del coseno, tenemos que
a 2 = OM 2 + R 2 - 2 × OM × R × cos(a)
b 2 = OM 2 + R 2 - 2 × OM × R × cos(p - a)
de donde b 2 = OM 2 + R 2 + 2 × OM × R × cos(a)

Entonces, sumando tenemos que

a 2 + b 2 = 2 × (OM 2 + R 2)
independiente por tanto de la cuerda paralela escogida.
Saludos

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Sea la distancia MO = k (fija)
Sean T, P las proyecciones ortogonales sobre el diámetro A y B respectivamente, entonces RT = PS.
El triángulo ATO es rectángulo con OA = r; Suponemos para una posición de A, AT = BP = h (variable); en ese triángulo; llamando TM = x (variable)

r 2 = h 2 + (TM + MO) 2 = h 2 + (x + k) 2
= > (x + k) = (r 2 -h 2) 1/2
=> x = (r 2 - h 2) 2 - k
Luego
AM 2 = h 2 + x 2 =>
h 2 + [(r 2 -h 2) 1/2 - k] 2 = r 2 +k 2 - 2k (r 2 - h 2) 1/2

Como RT = PS => OP = OT = x + l
=> MP = MO + OP = x + 2k luego
BM 2 = h 2 + (x + 2k) 2 = h 2 + [(r 2 - h 2) 1/2 - k + 2k] 2 =
= h 2 + [(r 2 - h 2) 1/2 + k] 2 = r 2 + k 2 + 2k (r 2 - h 2) 1/2

AM 2 + BM 2 = r 2 + k 2 - 2k (r 2 - h 2) 1/2 + r 2 + k 2 + 2k (r 2 - h 2) 1/2 = 2 (r 2 + k 2)

que es independiente de la altura h , elegida para la determinación de A

mano_dSolución de Francisco de León-Sotelo y Esteban y de Cesáreo Muñoz
Sea la circunferencia de cento el origen, radio R y ecuación x 2 + y 2 = R 2. Si trazamos la recta y = k paralela al diámetro contenido en el eje X, esta recta cortará a la circunferencia en dos pontos (para k < R) que serán
Cualquier punto M del eje X es de la forma M(a,0). Si hacemos la distancia d 2 = MA 2 + MB 2 obtenemos:
que simplificado queda d 2 = 2 (a 2 + R 2). Aquí vemos que esa distancia sólo depende del radio y del lugar donde situemos el punto en el eje X, pero no depende para nada del valor de k que nos define la altura de la cuerda con respecto al diámetro.

 
  (#139) Magnitud constante