(#141) Geoplano cuadrado
Determinar el número N de cuadrados que tienen sus vértices en un geoplano cuadrado de n × n puntos.

mano_dSolución Asignemos coordenadas a los puntos del geoplano de modo que cada punto tenga coordenadas enteras (i, j), donde i, j varían desde 1 hasta n. Digamos para fijar ideas que el geoplano está ubicado con dos bordes horizontales y dos verticales, y que el vértice inferior izquierdo tiene coordenadas (1, 1) y el superior derecho (n, n).
Si un cuadrado tiene sus vértices en el geoplano, sea A = (x, y) el vértice que esté más abajo y a la izquierda.
En otras palabras, A es el vértice con menor ordenada, y si hay dos (lo que ocurre cuando el cuadrado tiene sus lados paralelos a los bordes del geoplano) entonces A es el vértice inferior izquierdo.
Sean B, C y D los vértices que siguen a A cuando se recorre el borde del cuadrado en sentido antihorario, y sea (h, k) el vector AB. Entonces B = A + (h, k) =(x + h, y + k).
El vector BC resulta al girar (h, k) 90 grados en sentido es antihorario, y por tanto es (-k, h), Entonces
C = B + (-k, h) = (x + h - k, y + k + h).
Finalmente CD es el opuesto de AB, es decir (-h, -k), y por lo tanto
D = C + (-h, -k) = (x - k, y + h)
(En la figura se ve uno de los posibles cuadrados, en el caso n = 10, (x, y) = (5, 1), h = 3, k = 2.)

Por la forma en que escogimos A debe ser h > 0 y k 0. Además, para que A, B, C y D no se salgan del geoplano sus coordenadas deben estar entre 1 y n, es decir:

1 x - k, x + h n, 1 y, y + k + h n
que pueden reescribirse así
k + 1 x n - h, 1 y n - h - k
Estas desigualdades muestran que para cada vector admisible (h, k) hay (n - h - k) 2 posiciones posibles del vértice A, y por lo tanto (n - h - k) 2 cuadrados.
La suma h + k puede tomar valores entre 1 y n - 1. Para cada i en este rango hay i pares admisibles (h, k), a saber (i, 0), (i - 1, 1),... (1, i - 1). Por lo tanto la respuesta es

mano_dLa solución de Ignacio Larrosa
Llamemos G al geoplano de n × n puntos. Diremos que un cuadrado esta inscrito en otro cuando sus vértices están sobre los lados del segundo. En particular, un cuadrado esta inscrito en si mismo.
Cada cuadrado con sus vértices en puntos de G tiene que estar inscrito en un cuadrado H de lados paralelos a los de G. Para verlo, basta trazar por sus vértices las rectas paralelas a los lados de G que no lo atraviesen.
El número pedido será entonces la suma de los inscritos en cada cuadrado H de lados paralelos a los de G, con vértices en los puntos de G.
En un cuadrado H de m × m puntos pueden inscribirse (m - 1) cuadrados: el que tiene sus vértices coincidentes con los de H (el mismo H), el que tiene los vértices a una distancia 1 de los de H, a una distancia 2, ..., hasta (m - 1); pues para m tendríamos nuevamente H.

Por otra parte, en un geoplano G de n × n puntos pueden situarse (n - m + 1) 2 cuadrados H de n × n puntos, con sus lados paralelos a los de G.
Para verlo, basta situar la esquina inferior izquierda del cuadrado H en la esquina inferior izquierda de G y ver que posiciones puede adoptar la esquina opuesta al desplazarlo dentro de G: (n - m + 1) posiciones en horizontal y otras tantas en vertical.
Por tanto, en todos los cuadrados H de n × n puntos pueden inscribirse (m - 1) × (n - m + 1) 2 cuadrados.

Entonces, el número total de cuadrados que podrán situarse con sus vértices en los puntos de G, son


En el primer paso se ha desarrollado la sumatoria. En el segundo, desconpongo cada producto k × (n - k) 2 en suma de k términos iguales (n - k) 2:
k × (n-k) 2 = (n - k) 2 + (n - k) 2 + ... + (n - k) 2 (k veces)
colocando uno en cada fila, de manera que en total hay (n - 1) filas, en la última de las cuales queda un solo sumando. Así en la fila k nos queda la suma de los cuadrados de los naturales desde 1 hasta (n - k).
Recordando que queda,
Para n = 1 a 10, los valores son: 0, 1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825
Saludos

Para ver los cuadrados sobre un geoplano 3 x 3 ó 4 x 4 coloca el ratón sobre él

 
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