(#142) Otra suma
Calcular la suma de la serie

mano_dSolución de Ignacio Larrosa y Francisco de León-Sotelo
Sea . Descomponiendo en fracciones simples el término general tenemos
de donde
1 = A (n + 1)(n + 2) + B n (n + 2) + C n (n + 1)

Para n = 0 => 1 = 2 A => a = 1/2
Para n = - 1 => 1 = B(-1)(1) => B = - 1
Para n = - 2 => 1 = C(-2)(-1) => C = 1/2

Luego

y resulta
pues se cancela el último término de cada sumando con el del medio de la siguiente y del primero de la sucesiva, quedando solos los dos primeros del primer sumando que se cancelan entre sí y el primero de la segunda que es el resultado.

mano_dSolución de José Carrión
La serie dada es convergente pues
Sea S = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a p y calculemos S.
Se trata de una progresión hipergeométrica.
De la igualdad anterior se tiene (n + 3) an + 1 = n a n y demos a no los valores 1, 2, 3, ... p - 1
    Para n = 1 => 4 a 2 = a 1
    Para n = 2 => 5 a 3 = 2 a 2
    Para n = 3 => 6 a 4 = 3 a 3
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    Para n = p - 1 => (p + 2) a p = (p - 1) a p -1
Sumando y simplificando resulta
2 (a 2 + a 3 + a 4 + . . . + a p) + p a p = a 1
de donde
y cuando p tiende a infinito resulta S = 1/4


 
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