(#144) Áreas de triángulos
En el triángulo ABC, en los lados AB y BC se han tomado los puntos K y P de forma que AK/BK = 1/2 y CP/PB = 2
Las rectas AP y CK se cortan en E. Hallar el área del triángulo ABC si sabemos que la del BEC es de 4 unidades cuadradas.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
La razón de longitudes de segmentos alineados (la razón simple de tres puntos) y, por tanto, la razón de áreas no cambian bajo transformaciones afines. Por tanto podemos estudiar el problema en cualquier triángulo, puesto que una transformación afín queda determinada por tres puntos.

Por tanto escojamos el triángulo de vértices A(0, 0), B(0, 1) y C(1, 0), de área S(ABC) = 1/2. Realmenente esto es lo mismo que escoger como sistema de referencia afín el formado por el punto A y los vectores AC y AB, {A, AB, AC}.

Las coordenadas del punto P son entonces (1/3, 2/3) y la ecuación de la recta AP r: y = 2x

Las coordenadas del punto K serán (0, 1/3) y la ecuación de la recta CK s: y = -(1/3)(x - 1)

El punto E = r /\ s, tiene entonces de coordenadas, E(1/7, 2/7).

Por tanto el triángulo AEC tiene un área

S(CEA) = (1/2) × 1 × (2/7) = 1/7 = (2/7) × S(ABC)
Para el triángulo BEA,
S(AEB) = (1/2) × 1 × (1/7) = 1/14 = (1/7) × S(ABC)

Como S(ABC) = S(AEB) + S(BEC) + S(CEA) nos queda

(4/7) × S(ABC) = S(BEC) = 4 => S(ABC) = 7

Saludos.


mano_dSolución de Carlos Álvarez
Dos triángulos cuyas bases están en una determinada proporción y tienen la misma altura (respecto de dicha base) tienen áreas que se encuentran también en dicha proporción.
Veamos que el área buscada es 7 unidades cuadradas; aplicando la anterior proposición varias veces obtenemos el sistema:

Escribimos, por comodidad, el siguiente sistema equivalente:

S ABC = 4 + 3 S ABE
S ABC = 6 + S ABE
Cuya solución es: S ABC = 7; S ABE = 1

mano_dSolución de Antonio Sicre
Los triángulos BEC - AEC, PEC - PEB, APC - APB tienen sus áreas en la proporción 2 : 1 ya que tienen base común y alturas en esa proporción. De ahí se deduce:
S AEC = 2
S PEC = 2 × S PEB; S PEC + S PEB = 4, S PEC = 8/3
S APC = 8/3 + 2 = 14/3
S APB = S APC/2 = 7/3
S ABC = S APC + S APB = 14/3 + 7/3 = 7 unidades 2

 
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