(#146) Longitud de un segmento
Las bases de un trapecio son a y b. Hallar la longitud del segmento paralelo a las bases, contenido entre los lados no básicos, que divide al trapecio en dos figuras equivalentes.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Sea c la longitud del segmento pedido, h la altura y g la distancia entre a y c. Si a = b, el trapecio es un paralelogramo y c = a = b. Supongamos entonces, sin perdida de generalidad, que a > b. Entonces g < h/2, dada la igualdad de áreas. Tenemos que
Despejando c en la primera igualdad resulta
Despejemos g de la igualdad resulta
sustituyendo este valor de g en la expresión obtenida para c, multiplicandp por 2(a + c) y operando resulta
Es decir, c es la raíz cuadrática media de a y b.

mano_dSolución de Antonio Sicre Rambla
Como el área del trapecio es independiente de los ángulos, para simplificar los cálculos suponemos un ángulo recto. Llamamos a a la base mayor, b a la menor y m a la incógnita del problema, h la altura del trapecio y x la altura de m sobre a.
Para que las áreas sean iguales
Las diferencias de longitudes de las horizontales son proporcionales a las alturas por lo que
De estas expresiones obtenemos
Saludos cordiales.

mano_dSolución de Carlos Álvarez Alberca
Sean L la longitud del segmento buscado, h la altura del trapecio y x la altura respecto de la base b del segmento buscado.
Recuérdese que dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma área. El área de los dos nuevos trapecios en los que divide L al trapecio inicial es S:
Obtenemos un sistema de dos ecuaciones:
Igualando ambos resultados
En definitva

mano_dSolución facilitada por Ovidio
Área del trapecio superior:
Área de los dos trapecios
Podemos establecer la siguiente relación de acuerdo con el enunciado
Por el teorema de Thales (aplicado a la zona en amarillo del dibujo)
Resolviendo [ 1 ] y [ 2 ] se obtiene

 
  (#146) Longitud de un segmento