(#147) Calculando X
Se considera el conjunto {1, 6, 35, 204, 1189, X} en el que, por ejemplo, el 6 se ha obtenido al sumar los 8 primeros números naturales y estraer la raíz cuadrada de dicho resultado, el 35 al sumar los primeros 49 números naturales y extraer su raíz cuadrada, etc., según el siguiente cuadro:
nSuma (n)X
111
8366
49122535
28841616204
  1681    1413721    1189  
¿___?¿___?¿ X ?
Determinar el valor de X.
Además se solicita a los posibles resolutores un enunciado más apropiado para el mismo.


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Enunciado propuesto
Determinar todos los n tales que la suma de los naturales de 1 a n sea un cuadrado perfecto:
1 + 2 + 3 + ... + n = k 2 con k perteneciente a N
Resolución:
Hay que resolver la ecuación diofántica
n(n + 1)/2 = k 2 => n 2 + n = 2 k 2
Multiplicando por 4, tenemos
4 n 2 + 4 n + 1 - 1 = 8 k 2 => (2 n + 1) 2 - 8 k 2 = 1
Haciendo m = 2 n + 1, tenemos la ecuación de Pell
m 2 - 8 k 2 = 1

Estas ecuaciones x 2 - D y 2 = 1, cuando D > 0 no es un cuadrado perfecto, tienen infinitas soluciones, que se obtienen todas a partir de una mínima distinta de la trivial (1, 0). Evidentemente si (m, k) es una solución, también lo son (m, -k), (-m, k) y (-m, -k), pero nos interesan solo las soluciones con m y k > 0. Nos interesarán sólo aquellas con m impar, para que n sea entero.

Efectivamente, si m 1 y k 1 es una solución, se tiene

m 1 2 - D k 1 2 = 1
Elevando esta igualdad a i,
Haciendo
vemos que (m i, k i) también es una solución.
Por descenso infinito puede demostrarse que cualquier solución debe ser precisamente de esta forma.

Se ve fácilmente que en este caso, para D = 8, la solución mínima es (m 1, k 1) = (3, 1), por lo que

Podemos obtener fórmulas explícitas para m i y k i despejando:
Teniendo en cuenta que n = (m - 1)/2

Pero también podemos obtener ecuaciones recurrentes, a veces más útiles.
Tenemos que

De (#4) se deduce que si m i es impar, también lo es m i+1. Como m i = 3 es impar, deducimos que todos los m i lo son, por lo que todos los n i expresados en (#3) son enteros.

Los primeros valores, par i = 0 a 10, son:

i =       0    1    2    3    4    5    6    7    8    9 10
mi =       1    3 17 99 577 3363 19601 114243 665857 3880899 22619537
ki =       0    1    6 35 204 1189 6930 40391 235416 1372105 7997214
ni =       0    1    8 49 288 1681 9800 57121 332928 1940449 11309768

Con lo que la X pedida es 6930

Para obtener relaciones de recurrencia independientes, podemos observar que para los primeros valores se tiene

m i + 2 = 6 mi + 1 - m i,     i = 0, 1, 2, ...     (#6)
k i + 2 = 6 k i + 1 - k i,     i = 0, 1, 2, ...     (#7)
Para demostrarlas por inducción, supongamos que son ciertas para todos los i menores que uno dado y veamos que también se cumplen para i + 1:
m i + 3 = 3 m i + 2 + 8 k i + 2 =
= 3 (6 m i + 1 - m i) + 8 (6 k i + 1 - k i)
= 6 (3 m i + 1 + 8 k i + 1) - (3 m i + 8 (k i) =
= 6 m i + 2 - m i + 1
Igualmente se procede para k i + 3, por lo que las relaciones de recurrencia (#6) y (#7) son válidas para todo i >= 0

Para n i = (m i - 1) / 2, tenemos:

n i + 2 = (m i + 2 - 1)/2 = (6 m i + 1 - m i - 1)/2 =
= (12 n i + 1 + 6 - 2 n i - 1 - 1)/2 =>
n i+2 = 6 n i + 1 - n i + 2    (#8)
Si se prefiere una relación homogénea, podemos poner
n i + 3 = 6 n i + 2 - n i + 1 + 2    (#9)
y restando ambas
n i + 3 = 7 (n i + 2 - n i + 1) + n i
Nota: Algo parecido ocurre con las quintas potencias. La ecuación 1 5 + 2 5 + ... + n 5 = k 2 tiene infinitas soluciones (n, k), que pueden encontrarse transformando esta ecuación en una de Pell. Saludos

mano_dSolución de Francisco de León-Sotelo
La suma de los n primeros numeros naturles 1 + 2 + 3 +... + n es igual a (1 + n)n /2 y para que exista la raíz cuadrada de este número debe de ser un cuadrado perfecto. Tenemos pues
(n + 1)n /2 = m 2 n 2 + n - 2 m 2 = 0
Esta ecuación de segundo grado la podemos resolver en función de m obteniendo y operando resulta
Si ahora llamamos a 2n + 1 = x y a 2m = y nos queda o lo que es lo mismo x 2 - 2 y 2 = 1
Una primera solución de esta ecuación se puede obtener fácilmente por simple observación 3 2 - 2 2 2 = 1, y a esta primera solución le llamamos x 1 = 3, y 1 = 2
De x 1 2 - 2 y 1 2 = 1 factorizado y elevando a p (para no confundirlo con el n del enunciado) queda
y si aquí hacemos
sumando y restando estas dos últimas ecuaciones obtenemos la solución general para p = 1, 2 , 3, ... de la ecuacion de Pell obtenida inicialmente. A saber:
de donde
Por tanto los valores de X que pide el enunciado son 1,6,35,204,1189, 6930, etc que en general son (x p - 1) /2
Otro posible enunciado podria ser Determinar todos los numeros triangulares que son son a su vez cuadrados pefectos
Saludos
Francisco de León-Sotelo y Esteban.(Huelva).

 
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