(#148) Producto de longitudes
Hallar el producto P de las longitudes de todos los lados y las diagonales de un polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio 1.

mano_dSolución de José Carrión Supuesto el radio = 1, el lado del n-gono regular vale y el producto de todos sus lados

Consideremos todas las diagonales que parten de un mismo vértice. La primera diagonal soporta dos de los n arcos iguales a que da lugar el n-gono, y vale , la siguiente diagonal soporta tres de los mencionados arcos y vale y así hasta la última que vale

esto ocurre en cada vértice, luego hay que multiplicar por n y dividir por 2 a fin de evitar repeticiones de diagonales (la diagonal AB y la diagonal BA son la misma).
El producto de todas ellas es

y el producto de todos los lados y diagonales será
Para el hexágono regular, por ejemplo, resulta P = 216
Saludos
-jcb-


Nota   
Cuando el ángulo es mayor que pi podemos usar esta expresión porque
mano_dSolución de Carlos Álvarez
Sea un polígono regular Rn de n lados cuya circunferencia circunscrita c tiene radio unidad.
Si desde un vértice cualquiera, sea Vn, obtenemos todos los segmentos que forma con los demás vértices del polígono, sean dk; k = 1, 2, 3, ..., n - 1, por el teorema del coseno aplicado al triángulo que forma cualquiera de ellos con el centro O de c tendremos que sus longitudes son:
Ver nota al margen de este ejercicio

Si realizamos este cálculo para todo índice k y para los n vértices, aparece dos veces cada diagonal y cada lado porque éstos quedan definidos por el par de vértices que relacionan.
Buscamos el producto P de todas las longitudes de los lados y diagonales de Rn. Si multiplicamos todos los valores dk mencionados, apareceran todos los factores por duplicado, luego:

Para reducir y simplificar, en la práctica, el número de operaciones que aquí aparecen y teniendo en cuenta que:
tenemos:

La solución de María José de León-Sotelo y Vidosa.
Los afijos de las raices del polinomio P(x) = xn - 1 son los vértices del poligono unitario inscrito en el círculo de radio 1. Una de las raices es precisamente x = 1. Si dividimos P(x) por x - 1 obtenemos
Q(x) = (x - x1) × (x - x2) × ... × (x- xn - 1)
donde si hacemos
Q(1) = (1 - x1) × (1 - x2) × ... × (1- xn - 1)
obtenemos el producto de las distancias de cada uno de los vértices a uno determinado (el que tiene por raiz x = 1) habiendo tomando para cada factor de Q(1) su valor absoluto ya que estamos hablando de longitudes.
No olvidemos que
por lo que
|Q(1)| = 1 + 1 + ... + 1 + 1 = |n| = n
que los dice que el producto de todas las distancias desde las n - 1 raíces restantes a la de valor x = 1 tiene el valor n. Esto lo debemos de hacer n veces para todos los vértices pero como cada diagonal y cada lado acaban en dos vértices, cada uno de los términos del producto lo incluimos dos veces por lo que la solución no es nn sino su raiz cuadrada.
El producto buscado es pues P = nn/2

 
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