(#149) Circunferencias tangentes
Dos circunferencias de radio R 1 = 3 cm y R 2 = 6 cm son tangentes entre ellas y tangentes interiores a otra circunferncia cuyo radio es R 3 = 9 cm. Determinar la longitud de la cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a las dos circunferencias interiores.


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Sean O1, O2 y O3 los centros de las circunferencias c1, c2 y c3 de radios R1, R2 y R3 respectivamente.
Sea P el punto en que la tangente t corta a la recta que contiene los centros de las tres circunferencias; Q el pie de la perpendicular por O3 a t; T1 y T2 los puntos de tangencia de c1 y c2 con t; R y S los puntos en que t corta a c3. Se trata de calcular la longitud de la cuerda RS.
Llamemos x a la longitud del segmento PO1 y d a la del QO3.
Los triángulos PO1T1, PO2T2 y PO3Q son semejantes, por tanto
(En general )
Entonces en el triángulo O3QS es O3Q = 5 y O3S = 9 y )
Por tanto, la longitud de la cuerda RS es

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Generalizando el problema , suponemos los radios de las circunferencias x e y (y > x) Construimos l circunferencia de centro O1 y radio x y tangente a ella con centro en O2 y radio y la segunda. A continuación con centro en O y radio (x + y) la tercera tangente a las 2 anteriores.
Con centro en O2 y radio (y - x) trazamos una nueva circunferencia (punteada) y trazamos el segmento tangente a esta desde O1.
Sea N el punto de tangencia , la recta O2N interseca a la circunferencia de radio y en C, la paralela a esta recta por O1 interseca a la circunferencia de radio x en A, la recta AC interseca a la circunferencia de radio (x + y) en P y Q la distancia entre estos puntos es la buscada.
Tracemos por O una perpendicular a la cuerda PQ (paralela por tanto a O1A, O2C) sea B el punto de intersección de estas. El cuadrilátero O1ANC, es un paralelogramo y se tiene O1A = MB = NC = x.
Por otra parte, los triángulos O1NO2 y O1MO son rectángulos y semejantes por tanto:
Por tanto el segmento
Si ahora consideramos el triángulo rectángulo OBQ, la hipotenusa OQ = (x + y) radio de la tercera circunferencia y OB es el cateto conocido por tanto:
Que en nuestro caso para x = 3; y = 6 produce un valor

mano_dSolución de José Carrión
Tracemos BJ paralela a OH, por lo que(BJE) ~ (OIE)
JE / BE = IE / OE => 3 / 9 = 6 / OE =>
=> OE = 18, OA = 6

Igualmente (OGD) ~ (BJE) de donde

GD / OD = JE / BE =>
=> GD / 15 = 3 / 9 => GD = 5
En (GDH)
Saludos

mano_dSolución de Carlos Álvarez Alberca
Sean O1, O2, O3 los respectivos centros de las circunferencias del enunciado.
Sean S y T los respectivos puntos de tangencia de las circunferencias de centro O1 y O2 con una recta tangente exterior a dichas circunferencias. Sea H el punto de interseccisn de dicha recta tangente con la recta que une sus centros. Sean R y U los extremos de la cuerda buscada; intersecciones de la mencionada recta tangente con la circunferencia de centro O3.
El segmento SO1 es paralelo al segmento TO2 por ser ambos perpendiculares a la recta tangente. Luego son semejantes los triángulos HSO1 y HTO2:
Luego:
HO2 = 18 cm; HO3 = 15 cm.
En el triángulo HSO1, sea δ el ángulo en H. Por ser un triángulo rectángulo es inmediato el valor de las razones trigonométricas de dicho ángulo:
Sean los triángulos HO3R y HO3U.
Sea x la longitud del segmento HR. Por el teorema del coseno aplicado al triángulo HO3R tenemos:
que es la misma ecuación que verificaría la longitud x´ del segmento HU en el triángulo HO3U. Luego las dos soluciones de dicha ecuación nos dan las longitudes de HR y HU:
La solución buscada es la longitud c de la cuerda RU, que resulta ser:


 
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