(#150) Circunferencias inscritas
Dado un triángulo ABC y un punto D en el lado BC, se trazan las circunferencias C1 y C2 inscritas respectivamente en los triángulos ABD y ADC. Mostrar que las circunferencias C1 y C2 son mutuamente tangentes si y sólo si D es el punto de tangencia de la circunferencia C0, inscrita del triángulo ABC, en el lado BC.

mano_dSolución de José H. Nieto
Sea T el punto de tangencia de la circunferencia C 0 con BC. Es bien sabido que 2BT = AB + BC - AC
Apliquemos esto mismo a los triángulos ABD y ACD: sean R y S los puntos de contacto de las circunferencias C 1 y C 2 con AD, respectivamente. Entonces
AR = AB + AD - BD y AS = AD + AC - DC
Por lo tanto
AR = AS si y sólo si AB + AD - BD = AD + AC - DC.
Simplificando AD y restando BD a ambos miembros queda AB - 2BD = AC - BC, o sea 2BD = AB + BC - AC que es precisamente la condición para que D sea el punto de contacto de la circunferencia C0.

La solución de Ignacio Larrosa
1) Si D es el punto de tangencia de c0 c1 y c2 son tangentes

Llamemos E y F a los puntos de tangencia de c1 y c2 con el lado BC, y T1 y T2 a sus puntos de tangencia con el segmento AD. Tenemos que ver que T1 = T2.
Como las longitudes de las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales, en cualquier triángulo, la distancia de un vértice a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita más próximos es la mitad de la suma de los lados que concurren en él, menos el opuesto.
Entonces llamando a, b y c a los lados opuestos a los vértices A, B y C, tenemos que BD = (a + c - b) /2    CD = (a + b - c) /2

DE = DT1 =(AD + BD - c) /2 = (2AD + a - c - b) /4
DF = DT2 =(AD + CD - b) /2 = (2AD + a - b - c) /4
DT1 = DT2 T1 = T2 c1 y c2 son tangentes

2) Recíprocamente, si c1 y c2 son tangentes D es el punto de tangencia de c0 y BC Si c1 y c2 son tangentes, sea T el punto de tangencia entre ellas y con el segmento AD. Tenemos que

TD = (BD + AD - c) /2 = (CD + AD - b) /2 BD - CD = c - b
Como por otra parte, BD + CD = a, sumando y restando ambas igualdades, se tiene
BD = (a + c - b) /2
CD = (a + b - c) /2
por lo que D es el punto de tangencia de c0 y BC.
Saludos
Ignacio Larrosa Cañestro

 
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