(#151) Triángulo ligados
En los triángulos ABC y A'B'C' los ángulos B y B' son iguales, en tanto que los ángulos A y A' suman 180º. Demostrar que los lados de estos dos triángulos están ligados por la relación
aa' = bb' + cc'


mano_dSoluciones de Antonio Sicre Rambla e Ignacio Larrosa
B = B'; A' = 180 - A; C = 180 - (A + B); C' = 180 - (180 - A) - B = A - B
sen(B) = sen(B'); sen(A) = sen(A');
sen(C) =sen(A + B) = sen(A)cos(B) + sen(B)cos(A)
sen(C') = sen(A - B) = sen(A)cos(B) - sen(B)cos(A)

Aplicando el teorema del seno a los triángulos

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
a'/sen(A') = b'/sen(B') = c'/sen(C')
Multiplicando miembro a miembro y operando
Del primer miembro y del cuarto resulta
aa' (sen 2(A) - sen 2(B)) = cc' sen 2(A)
Del segundo miembro y del cuarto
bb'(sen 2(A) - sen 2(B)) = cc'sen 2(B)
Restando estas expresiones
(aa' - bb') ×(sen 2(A) - sen 2(B)) = cc' × (sen 2(A) - sen 2(B))
Luego aa' - bb' = cc' => aa' = cc' + bb' c.q.d.

mano_dSolución de José H. Nieto
Construyamos un triángulo ABD semejante al A'B'C' y con el vértice D en el semiplano de borde AB que no contiene a C. La razón de semejanza es c/c', de modo que
BD = a'c/c' y AD = b'c/c'

El ángulo BAD es igual al B'A'C' y por lo tanto suplementario de BAC, es decir que D, A y C están alineados. Además como ang(ABD) = ang(A'B'C') = ang(ABC), resulta que BA es la bisectriz de CBD.

Considerando ahora el triángulo BCD y recordando que "el producto de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la bisectriz concurrente con ellos más el producto de los segmentos en que divide al lado opuesto" resulta que

BC × BD = BA 2 + AC.AD
es decir
aa'c/c' = c 2 + bb'c/c'
de donde, multiplicando por c'/c, se sigue que aa' = bb' + cc'

mano_dLa solución de José Carrión
Sean AB = c, BC = a, CA = b, A'B' = c', B'C' = a' y C'A' = b',
Dispongamos los triángulos según se muestra en la figura t reacemos C'D paralela a BC

Los triángulos AC'D y ABC son semejantes, pues C'D es paralela a BC de los que se deduce

Observando los ángulos, los triángulos B'C'D y AC'D también son semejantes (tienen dos pares de ángulos iguales
Luego
Saludos
-jcb-

 
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