(#153) Una congruencia de triángulos
En el siguiente triángulo hallar j

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Como BA = BC, tenemos que el ángulo ACB = CAB = 2j.
Así mismo, como AC = AD, tenemos que ADC = ACD = 90º - 3j.
Como el ángulo BDC = 180º - 9j -2j - (90º - 3j) = 90º - 8j, tenemos que el ángulo ADB = 5j.
Entonces, el ángulo DAC = 180º - 2 (90º - 3j) = 6j.
Finalmente, el ángulo ABD = 180º - (6j + 2j + 5j) = 180º - 13j, por lo que el ángulo ABC = 180º - 4j.

Apliquemos el teorema de los senos a los triángulos:

Triángulo ABC:  
Triángulo BDC:  
Triángulo ADC:  

Multiplicando las tres igualdades miembro a miembro, pueden cancelarse los segmentos y queda,

sen(2j) sen(9j) sen(90º - 3j) = sen(180º - 4j) sen(90º - 8j) sen(6j)
sen(2j) sen(9j) cos(3j) = sen(4j) cos(8j) sen(6j) = 2 sen(2j) cos(2j) cos(8j) sen(6j)
sen(9j) cos(3j) = 2 cos(2j) cos(8j) sen(6j)
sen(9j) cos(3j) = cos(8j) (sen(8j) + sen(4j))
(1/2) (sen(12j) + sen(6j)) = cos(8j) sen(8j) + cos(8j) sen(4j) =
= (1/2) sen(16j) + (1/2)(sen(12j) - sen(4j))
sen(6j) = sen(16j) - sen(4j) = 2 cos(10j) sen(6j)
cos(10j) = 1/2 10j = 60º j = 6º

Nota: El ángulo 10j < 180º pues el ángulo BAC = 180º - 13j.
Saludos

mano_dLa solución de Julio A. Ubaldo
De acuerdo con la figura
Del triágulo ACB: m(ABC) = 2j y m(ABH) = 180º - 13j
Además que el triágulo ADC es isósceles y por tanto m(CAD) = 6j
Por A trazamos un segmento AE (E punto interior del triángulo AHD) de modo tal que m(EAD) = 2j; luego el triángulo AED ABC (criterio LAL)
Entonces ED = AE = AB = BC, además: m(EDA) = 2j
De la figura m(HAE) = 4j y m(BDE) = 3j
Por propiedad triangular aplicada en la figura sombreada, tendremos que m(ABD) = 120º - 3j Sin embargo m(ABH) = m(ABD) entonces 180º -13j = 120º - 3j por lo que j = 6º

 
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