(#158) Buscando un resultado finito
Dada la funcion x = y^(y(^(y^(y^...)))) determinar el máximo valor que puede tomar y para que en x obtengamos un resultado finito.

mano_dSolución de José Carrión
La función dada se puede expresar como x = y x de donde y = x 1/x.
Como se pide el valor finito de x haga y "lo mayor posible" se está pidiendo el máximo de esa función. Para ello calculemos las derivadas primera y segunda
La derivada primera se anula para x = e valor éste que hace negactiva a la segunda derivada, por lo que el máximo se da en el punto (e, e 1/e)

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Si x es finito, tenemos que x = y x ln(x) = x × ln(y) ln(y) = ln(x)/x
Como queremos que y sea máximo, también lo será ln(y). Estudiando la función ln(x)/x, continua y derivable en (0, ), tenemos

Vemos que se anula solo para x = e, siendo positiva antes y negativa después. Por tanto en x = e alcanza su má:ximo absoluto en (0, ).

Este valor máximo es 1/e. Por tanto el máximo valor de y para el que x es finito es e(1/e), y ese valor de x es e.
Saludos.


 
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