(#159) La posición de k
En el triángulo ABC el ángulo A es igual a alfa y el B es igual a beta. La mediana BD corta a la bisectriz CE en el punto K. Hallar la posición de K respecto de C y E.


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Sea S = (ABC) el área del triángulo ABC. Como D es el punto medio de AC, se tiene (ADB) = (DCB) = S/2
Por otra parte, la bisectriz de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Entonces
y tendremos

Aplicando la misma propiedad de la bisectriz al triángulo DBC, llamando m a la longitud de la mediana BD

y
Como los triángulos CEB y CKB tienen la misma altura, sus bases serán proporcionales a sus áreas
Por diferencia En estas expresiones, usando el teorema del seno, puede sustituirse a por sen(alfa) y b por sen(beta), dividiendo numeradores y denominadores por el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo..

mano_dSolución de Antonio Sicre
Trazamos por K la recta LM paralela a AC, y la recta KJ paralela a BC.
Es evidente que CJ = CM = KJ = KM = KL= t
El triángulo KJD es semejante al BCD por tener dos lados coincidentes y el tercero paralelo por construcción. Por tanto podemos establecer la proporción:
Los triángulos KLE y CAE son también semejantes por la misma razón que los anteriores, por tanto, podemos establecer: CE/KE = AC/KL  CE/KE = AC/a; sustituyendo t,
En función de los ángulos, considerando que AC × sen (a ) = CB × sen (b ) o bien

mano_dLa solución de José Carrión
Como CE es bisectriz del ángulo ACB, se verifica que
luego KN = NC. Por otro lado
Segú el teorema de Thales
AD = D MK = KN MK = KN = NC = a
Por el teorema del coseno en el triángulo KNC
CK2 = a2 + a2 - 2 a2 cos(a + b)CK2 = 2 a2 [ 1 - cos(a + b)]
Aplicando el teorema de los senos al triángulo MKE
Dividiendo [1] entre [2]

 
  (#159) La posición de k