(#161) Otro de razones trigonométricas de ángulos agudos
De la siguiente figura siendo ABCD un cuadrado se pide calcular tag(a)


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Añadamos otro cuadrado DCEF, continuemos el arco AC para completar la semicircunferencia ACF y unamos el punto Q con B y F.
Los ángulos AQB y AQF son rectos, por estar inscritos en semicircunferencias. Por tanto los triángulos BQA y AQF son semejantes, pues los ángulos en Q son rectos y en A complementarios.
Tenemos entonces que áng(BAQ) = áng(AFQ), y la tangente de este último es BA/AF = 1/2
mano_dSolución de Antonio Sicre Rambla
El triángulo AEG es semejante al BEA por tener dos ángulos iguales, por tanto el tercer ángulo EAG es igual al EBA, y de ahí tag(A) = 1/2


Se pide calcular el ángulo a
mano_d Solución de Francisco José Anillo Ramos (Córdoba).
Calculemos la posición del punto Q usando Geometría analítica, como intersección de las dos circunferencias cuya intersección nos definen el punto. ¿Se mantendrá el punto Q constante según las condiciones del problema?
Llamaremos L al lado genérico del cuadrado ABCD.
Estableceremos un Sistema de Ejes de Coordenadas Cartesianas, tomando como origen de las mismas el vértice A del cuadrado. Así pues las coordenadas de los vértices del cuadrado serán:
A(0, 0), B(0, L), C(L, L), D(L, 0)
1) Ecuación de la circunferencia de centro D(L,O) y radio L
(x - L) 2 + (y - 0) 2 = L 2
x 2 - 2 x L + L 2 + y 2 = L 2
x 2 + y 2 = 2 x L
2) Ecuación de la circunferencia de centro M(O, L/2) y radio L/2
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas ecuaciones
Así pues el punto Q tiene de coordenadas
Q(x, y) = Q(x, 2x)
Luego la tangente pedida se calcula fácilmente
¿Qué relación habrá entre las coordenadas del punto Q y el lado del cuadrado L?.
En el triángulo rectángulo DQH, aplicando el teorema de Pitágoras:
L 2 = (2 x) 2 + (L - x) 2
L 2 = 4 x 2 + L 2 - 2 x L + x 2
5 x 2 = 2 x L
5 x = 2 L luego x = 2 L/5
Como la coordenada y del punto Q es y = 2x, tendremos igualmente la relación de y con el lado del cuadrado L:
y = 2 x = 4 L/5
Así pues las coordenadas del punto Q están fijadas, según el diseño del dibujo, en función del lado L del cuadrado. Es decir, la tangente del ángulo alfa pedido es constante e igual a 1/2, y el ángulo alfa constante:
mano_dLa solución de Julio A. Miranda
Consideremos que la longitud de cada lado del cuadrado sea : "a"
Unamos B y Q entonces: áng(AQB) = 90º
Unamos Q y D entonces: QD = a. Luego el triángulo AQD es isósceles.
Por D trazamos una perpendicular a AQ en N entonces : AN = NQ.
Además que: áng(QDN) = áng(ADN) = a
En el triángulo rectángulo BQA: AQ = a cos(a)   (1)
En el triángulo rectángulo QND: NQ = a sen(a) entonces: AQ = 2a sen(a)    (2)
Igualando (1) y (2) se obtiene tag (a) = 1/2

 
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