(#163) Suma de los dividores de 19 88 - 1
Hallar la suma de todos los divisores del número N = 19 88 - 1, múltiplos de 6 y que no tienen otros factores primos que 2 y 3.


mano_dSolución
1988 - 1 termina en 80 y al dividirlo entre 2 nos daría un numero terminado en 40, la siguiente división entre 2 daría un numero terminado en 20, la siguiente uno terminado en 10 y la siguiente terminado en 5 y no podríamos dividir más pues es impar, luego la máxima potencia de 2 que lo divide es 2 5.
Por otro lado
19 88 - 1 = (19 44 + 1) × (19 22 + 1) × (19 11 + 1) × (19 11 - 1)
donde los tres primeros factores no son divisibles entre 3 ya que vistos Mod 3 son igual a 2 sin embargo el ultimo factor 19 11 - 1 es divisible entre 9 y de esta división resulta un número que no es divisible entre 3, asi pues la máxima potencia de 3 que lo divide es 3 2 y los divisores que buscamos son los divisores de 2 5 × 3 2 que sean múltiplos de seis y cuya suma será
(2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5) × (3 1 + 3 2) = 62 × 12 = 744

mano_dLa solución de Ignacio Larrosa
Veamos cuales son los exponentes de 2 y 3 en la descomposición factorial de N. Llamemos x = 19 por brevedad.
x 88 - 1 = (x 44 - 1)(x 44 + 1) =
= (x 22 - 1)(x 22 + 1)(x 44 + 1) =
= (x 11 - 1)(x 11 + 1)(x 22 + 1)(x 44 + 1)   (#1)

Como x = 19 = 1 (mod 3), el único factor de estos cuatro que es múltiplo de 3 es el primero. Pero
x 11 - 1 = (x - 1)(x 10 + x 9 + ... + 1)   (#2)

En el segundo factor hay 11 sumandos iguales a 1 (mod 3), por lo que es 2 (mod 3). El primero es 18, por lo que el exponente de 3 en N es 2.
Para el exponente de 2, observemos que en (x - 1) hay un solo factor 2, y que el segundo factor de #2 es impar, por lo que el exponente de 2 en x 11 - 1 es 1.
Los otros tres factores de (#1) se pueden poner
x 11 + 1 = (x + 1)(x 10 - x 9 + x 8 - ... + 1)
x 22 + 1 = ((x 2) 11 + 1) = (x 2 + 1)(x 20 - x 18 + x 16 - ... + 1)
x 44 + 1 = ((x 4) 11 + 1) = (x 4 + 1)(x 40 - x 36 + x 22 - ... + 1)
En cada una de estas expresiones el segundo factor es impar, pues consta de 11 sumandos impares.
En cuanto a los primeros, tenemos que en (x + 1 ) = 20 el exponente de 2 es 2.
Teniendo en cuenta que x = -1 (mod 4), (x 2 + 1) = (x 4 + 1) = 2 (mod 4), por lo que ambos son múltiplos de 2, pero no de 4.
En resumen, el exponente de 2 en N es 5. Tenemos entonces
N = 2 5 × 3 2 × M, con mcd(M, 6) = 1
Los divisores de N que no tienen otros factores que 2 y 3 don los divisores de 2 5 × 3 2. De ellos debemos descontar los que no son múltiplos de 2, los divisores de 3 2; y los que no son múltiplos de 3, los divisores de 2 5. Entonces,
puesto que el 1 se ha descontado dos veces,
Nota:   sigma(N) es la suma de todos los divisores de N, incluidos 1 y N. Se tiene que

 
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