(#165) Uno de tetraedros
Hallar la relación entre la arista de un tetraedro inscrito y uno circunscrito a un rombododecaedro regular

mano_dSolución
El enunciado resulta un poco ambiguo, pues no esta claro si se pide la relación entre las aristas de un tetraedro inscrito y otro circunscrito cualesquiera, entre el mayor inscrito y el menor circunscrito, o si ambos deben estar simétricamente dispuestos entre si y con el rombododecaedro.

Figura 1 Tetraedros inscritos en rombododecaedro.
Si la arista del cubo base del rombododecaedro es 1 la del rombododecaedro es y la del tetraedro
El cubo base no está representado, aunque en la plantasus aristas coinciden con las del rombododecaedro.
Un rombododecaedro regular podemos considerarlo formado a partir de un "cubo base" al que se le adosan seis pirámides congruentes con las que se obtienen al unir sus vértices con su centro. Cada cara triangular (no equilátera) de estas pirámides queda en el mismo plano que la cara adyacente de la pirámide vecina, pues forman ángulos de 45º con las caras del cubo base, formándose una sola cara rómbica.
Los vértices del rombododecaedro son entonces los ocho del cubo base, más los seis vértices de las pirámides añadidas, siendo sus caras rombos de lado igual a la mitad de la diagonal del cubo base, , haciendo la arista del cubo base igual a 1.
En el cubo base puede inscribirse un tetraedro regular con sus vértices en cuatro vértices alternados, de manera que no haya dos en la misma arista. La arista de este tetraedro será . Es el dibujado en rojo con líneas gruesas en la Figura 1. En cuanto al tetraedro circunscrito, la única posibilidad en la que los elementos de simetría comunes (centro, ejes y planos) del tetraedro y romboedro coinciden, es haciendo coincidir los cuatro centros de sus caras con los cuatro vértices del tetraedro inscrito, en cuatro vértices alternados del cubo base.

La relación entre las aristas de los dos tetraedros es la misma que la de sus alturas, que es de 3/1.
Otra posibilidad para el tetraedro inscrito es situar tres vértices en vértices del romboedro que no lo son del cubo base, vecinos de uno que si lo sea. Entonces el cuarto vértice quedaría en el interior del romboedro, pudiendo desplazarse el tetraedro hasta que su vértice interior coincidiera con el del tetraedro. Sus posiciones extremas están representadas en la Figura 1 en rojo con trazo fino. El tamaño sería el mismo del anterior. Girándolo levemente, manteniendo un vértice coincidente con el del rombododecaedro, otro en una arista y los dos restantes en algún punto de sendas caras, podría conseguirse un tetraedro inscrito algo mayor, pero no veo la forma de calcular sus dimensiones.
Respecto al tetraedro circunscrito, eliminando la restricción de que los elementos de simetría comunes coincidan, puede obtenerse uno menor, haciendo coincidir una de sus caras con una del romboedro, con la altura alineada con el eje mayor del rombo, tal y como se representa en la Figura 2.
Las otras tres caras pasan por los puntos A, B y C del rombododecaedro. En la Figura 2 se representan también, en trozo rojo fino, las dos secciones del tetraedro paralelas a la cara común, por los puntos A y B y C, respectivamente.
Calculemos la arista de este tetraedro en función de la arista del cubo base a. La distancia entre caras paralelas del romboedro, la diagonal mayor de una de sus caras, es igual a la diagonal de las caras del cubo base y mide . Esta es la longitud del segmento AI, en la vista lateral.
El ángulo AHI, coincidente con el AFI en la vista lateral, es el ángulo formado por dos caras del tetraedro, igual al formado por las alturas de estas caras correspondientes a la arista común. Su coseno es entonces 1/3 y . Por tanto
Por tanto, el segmento KJ = 1/4.
En la Figura 3 tenemos la sección paralela a la base por B y C. La distancia entre B y C, vértices opuestos del rombododecaedro no pertenecientes al cubo base, es 2. Llamamos M al punto medio de B y C, por lo que MC = 1. La distancia MK es la mitad de la diagonal mayor del rombo, , por lo que
Como el ángulo C'CL es de 30ª, tenemos que
Entonces
En la misma figura, tenemos
C'N = JH = KJ = 1/4    y que
Por tanto,
El cociente entre las aristas de este tetraedro circunscrito y el inscrito es entonces de
un poco menor que si ambos tetraedros están simétricamente dispuestos. Queda pendiente determinar la arista del máximo tetraedro inscrito, con lo que la relación anterior podría disminuir algo.
Saludos

mano_dLa solución de Antonio Sicre
Si consideramos el rombododecaedro apoyado en un plano horizontal sobre el vértice O' opuesto al O, su proyección es el hexágono RBSCTA.
Uno de los tetraedros inscritos es el ABCO'.
Uno de los tetraedros circunscritos es el XYZV (coincidiendo V con O en la proyección). Los puntos R, S y T son los puntos de tangencia y coinciden con el centro de las caras del tetraedro, por tanto la recta LM mide 2/3 de la arista XY.
Por otra parte, por la semejanza de los triángulos OAB y OLM tenemos que LM = 2AB.
LM = 2AB = 2/3XY ; XY = 3AB

 
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