(#170) Potencias redondas ... más 1
Para cualquier número impar m, mayor que 1 y que no sea múltiplo de 5, y para cualquier entero positivo n, encontrar una potencia m que acabe en n ceros seguidos de un 1.


mano_dSolución
Tenemos que m y las sucesivas potencias de 10 (10, 102, 103, ... 10n) son coprimos ya que en la descomposicion en factores primos de dichas potencias de 10 sólo entran el 2 y el 5 como factores primos, que no existen en el número m y por tanto podemos asegurar por medio de la funcion "fi" de Euler que

Esto nos dice que m4 termina en 1, m40 termina en 01, m400 termina en 001 y en general por lo que termina en n - 1 ceros seguidos de un 1.

Otra forma de verlo sin la función de Euler es ver cuáles son las potencias cuartas de m módulo 10: 14 = 1 (mod 10), 34 = 1 (mod 10), 74 = 1 (mod 10), 94 = 1 (mod 10).
Por lo que m4 = 1 (mod 10), o lo que es lo mismo m4 = 10 k + 1
Deigual modo

(m4)10 = (10 k + 1)10 = 1 + 100 k + ...
términos del binomio de Newton todos ellos divisibles por 100 por lo que
m40 = 1 (mod 10) m40 = 100 k + 1
es decir termina en 01

De igual modo procederiamos con (m40)10 ....

Puesto que el orden dentro del grupo de las potencias de m es un divisor de la función de Euler existen potencias menores que los valores que se indican, valores que nos lo proporciona la función de Carmichael y sólo indico los primeros a saber: 4, 20, 100, 500, 5000,... que se corresponden con los obtenidos con la función de Euler o con el Binomio de Newton aunque de valores mas bajos pero ambos igualmente válidos a efectos de las terminaciones en n ceros y un uno de las potencias de m. Un ejemplo: Euler y Newton nos aseguran que m400 termina en 001 y el matemático americano acaba diciendo que sí, pero que basta m100 para asegurarnos la terminación 001.

Saludos y un feliz verano para todos
León-Sotelo

mano_dLa solución de Ignacio Larrosa
Veamos que si un número M acaba en 1, entonces (M10)n acaba en n ceros y un 1.
En efecto,
M = 10 r + 1 M2 = r2 102 + 2 r 10 + 1 =
= 2 (5 r2 + r) 10 + 1 = 2 r (5r + 1) 10 + 1
Hagamos s = r (5r + 1)
M10 = (M2)5 = (10.2s)5 + 5 (10.2s)4 + 10 (10.2s)3 + 10 (10.2s)2 + 5 (10.2s) + 1
M10 = t.s.102 + 1 = t (5r + 1) r 102 = k.r.102 + 1
con t entero. Luego es cierto para n = 1

Supongamos que es cierto para n, de manera que (M10)n = q.10n + 1 + 1

Hagamos M' = (M10)n y q' = q 10n con lo que M' = 10 q' + 1 por lo que aplicando lo visto para n = 1

M'10 = k.q'.102 + 1, con k entero,
(M10)n + 1 = k.q.10n + 2 + 1
por lo que (M10)n = q.10n + 1 + 1 para todo n1, acabando en n ceros y un 1.

Entoces, si m = 1(mod 10), haciendo M = m vemos qie 10n es el exponente buscado.
Si m = 9(mod 10), m2 = 1(mod 10), y podemos hacer M = m2, con lo que el exponente buscado sería 2.10n
Finalmente, si m = 3 ó 7 (mod10), m2 = 9(mod 10) y m4 = 1 (mod 10).
Hacemos entonces M = m4 y el exponente pedido será 4.10n
Saludos


 
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