(#172) ¡A sumar!
Hallar la suma
donde en los denominadores se han eliminado los cuadrados que son divisibles por 3 ó 5.


mano_dSolución
Es un resultado conocido (*) que
La serie de los cuadrados de los inversos de los múltiplos de k es
Por otra parte,
S = Z - Z3 - Z5 + Z15 = Z(1 - 1/9 - 1/25 + 1/225) =
= Z(192/225) = 32p2/225 1.403677070...

Para ver (*) podemos utilizar el desarrollo en serie de Fourier de f(x) = x (1 - x) en [0, 1]. En este intervalo f(0) = f(1) y la función es continua y de variación acotada. En estas condiciones, el desarrollo en serie converge puntualmente a la función en todo el intervalo. El desarrollo se obtiene fácilmente:

con
   si n > 0, 1/3 para n = 0
Para x = 0


Saludos
Ignacio Larrosa Cañestro


 
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