(#174) Pareja de triángulos
Sean A y A´ dos triángulos con ángulo mayor A y A´ mayores que 90º. Si a y a´ son los lados mayores de esos triángulos y b, c y b´, c´ los otros lados, entonces se verifica:
1)   b × b´ + c × c´a × a´
2)   b × c´ + b´ × ca × a´


mano_dSolución
Sean los triángulos ABC y A'B'C' con ángulos A y A' mayores que 90º y lados mayores a y a', respectivamente.
Bajo estos supuestos se puede demostrar que
aa' bb' + cc'
aa' bc' + b'c
Por el teorema del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:
a 2 = b 2 + c 2 + 2bm
a' 2 = b' 2 + c' 2 + 2bn
siendo m y n las respectivas proyecciones de c sobre b y de c' sobre b'. Evidentemente
a 2 b 2 + c 2
a' 2 b' 2 + c' 2
Multiplicando miembro a miembro:
(aa') 2(bb') 2 + (cc') 2 + (ba') 2 + (b'c) 2
que puede expresarse de dos maneras:
(aa') 2(bb' + cc') 2 - 2bb'cc' + (bc') 2 + (b'c) 2
(aa') 2(bc' + b'c) 2 - 2bb'cc' + (bb') 2 + (cc') 2
o también
(aa') 2(bb' + cc') 2 + (bc' - b'c) 2
(aa') 2(bc' + b'c) 2 + (bb' - cc') 2
seguidamente
(aa') 2(bb' + cc') 2
(aa') 2(bc' + b'c) 2
y, por consiguiente:
aa' bb' + cc'
aa' bc' + b'c
Saludos cordiales.
jcb

 
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