(#179) La bisectriz más larga
De todos los triángulos con la base y el ángulo en el vértice dados, la bisectriz máxima del ángulo en el vértice la tiene el triángulo isósceles. ¿Por qué?

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Sea BC el segmento dado. Si el ángulo en el vértice A es constante, el punto A esta en el arco capaz del segmento BC y ángulo el dado. La bisectriz del ángulo A divide al arco BC en dos partes iguales, por lo que pasa siempre por el punto D, intersección de la mediatriz de BC con el arco BC.

La longitud de la bisectriz es AM = AD - MD.
Pero para el punto E, diametralmente opuesto al D, la distancia AD es evidentemente máxima, mientras que la MD es mínima. Por tanto, cuando A esta en E, y el triángulo es isósceles, la longitud de la bisectriz AM es máxima.
Saludos
Ignacio Larrosa


mano_dSolución de Saturnino Campo
Construimos el arco ABC capaz del ángulo C, lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo ángulo constante. En primer lugar observamos en la figura que si es D el punto de intersección de la bisectriz CM del ángulo ACB con la circunferencia circunscrita a él, los segmentos AD y DB son iguales (opuestos al ángulo C/2), luego D es un punto de la mediatriz de AB; esto es, las bisectrices de cualquier ángulo C sobre el arco capaz pasan todas por el punto D.

De otra parte es inmediato que la bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo es mayor que la altura que sale de este vértice. Si probamos que para dos triángulos ABC y ABC' como en la figura, el que tiene mayor altura también tiene la mayor bisectriz, reduciremos el problema de encontrar la mayor bisectriz al de encontrar la mayor altura; problema mucho más sencillo, pues resulta evidente que la mayor altura sobre AB es, necesariamente, la que pasa por el centro del arco capaz, y esta corresponde a la de un triángulo isósceles.
Veamos que CM es mayor que CM'. Es evidente que CD es mayor que C'D, pues abarca un arco mayor, pero el segmento DM es menor que DM' pues son hipotenusas de dos triángulos con un cateto común y por consiguiente CM resulta que es mayor que C'M como queríamos probar.


mano_dLa Solución de José Carrión
Circunscribamos una circunferencia al tri´ngulo ABC con la bisectriz BD. Los vértices de los demás triángulos con la base y el ángulo en el vértice dados tienen que estar en el arco ABC. Tomemos el triángulo isósceles AB'C, tracemos en él la bisectriz B'D' y demostremos que BD < B'D'.

Continuemos ambas bisectrices BD y B'D' hasta su intersección con la circunferencia. Ambas cortan a ésta en un mismo punto M, que es el punto medio del arco AC. Como B'M es el diámetro de la circunferencia, entonces BM < B'M. Del triángulo DD'M concluimos que DM < D'M. De estas desigualdades se desprende que BM - DM < B'M - D'M, es decir, que BD < B'D'.
[jcb]


 
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