(#180) Llenando el tetraedro
Un tetraedro regular hueco tiene 30 cm de arista y descansa sobre una de sus caras. Se echan 2 litros de agua. Determinar la altura que alcanza el líquido y el área de la superficie libre de agua.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Trabajemos en decímetros. La arista del tetraedro es entonces de 3 dm y se vierten en él 2 dm 3 de agua.
Utilizaré rq(x) para indicar la raíz cuadrada de x, y rc(x) para la raíz cúbica.

El volumen de un tetraedro de arista a es: V = (1/3)B×h donde B es la superficie de la base y h la altura del tetraedro. Tenemos que

B = (1/2)a×h' = (1/2)a×(a×rq(3)/2) = a 2×rq(3)/4
donde h' es la altura de las caras.

La altura la calculamos considerando el triángulo rectángulo formado por la altura h' de una cara lateral, la altura h del tetraedro y 1/3 de la altura h' de la base:

h' 2 = h 2 + h' 2/9 h = (2rq(2)/3)h' = (2rq(2)/3)(rq(3)/2)a = (rq(6)/3)×a
V = (1/3)×(a 2×rq(3)/4)×( (rq(6)/3)×a) = (rq(2)/12)×a3

Nuestro tetraedro tiene entonces un volumen de

V t = (rq(2)/12)×3 3 = 9×rq(2)/4 dm 3

Al llenarlo con dos litros de agua, queda un tetraedro vacío de volumen

V v = 9×rq(2)/4 - 2
La arista a' de este tetraedro vacío es
a' = rc(12(9×rq(2)/4 - 2)/rq(2)) = rc(27 - 12rq(2))

La altura h" del tetraedro es entonces:

h" = (rq(6)/3) × rc(27 - 12rq(2)) = rc((18rq(6) - 16rq(3))/3) dm
Y la altura del agua será la diferencia
h - h" = rq(6) - rc((18rq(6) - 16rq(3))/3) ~= 0.6886767844 .. dm

La superficie libre del líquido es

B' = (rq(3)/4)(rc(27 - 12rq(2))) 2 rc(3051 × rq(3) - 1944 × rq(6))/4 2.013809319 dm 2

 
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