(#186) Los ángulos del triágulo
Dado el triángulo ABC en el que A = 70º y B = 60º, y el triángulo A'B'C', donde A', B' y C' son los pies de las alturas de los triángulos desde A, B y C, respectivamente (el pie de una altura es el punto de intersección entre la altura y el lado). Hallar los ángulos de dicho triángulo.

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Si consideramos el triángulo rectángulo AA'B el ángulo A = 90 - B y si consideramos el AA'C el ángulo A = 90 - C (esta misma situación se da para los ángulos B y C).

Por otra parte si consideramos el triángulo rectángulo AOC'

O = 90 - (90 - B) = B
y si consideramos el triángulo rectángulo AOB'
O = 90 - (90 - C) = C
y entonces, el ángulo C'OB' = B + C; por tanto el cuadrilátero AC'OB' es inscriptible; pues las sumas
C' + B' = 90 + 90 = 180
O + A = (B + C) + A = 180
Por un razonamiento totalmente análogo se demuestra que BC'OA' y CA'OB' también lo son.

Si consideramos el triángulo C'OB', el ángulo C' es el inscrito en la circunferencia determinada por AC'O que sustiende OB' por tanto es igual que el ángulo OAB' = 90 - C

Si consideramos el triángulo C'OA', el ángulo C' es el inscrito en la circunferencia determinada por A'BO que sustiende OA' por tanto es igual que el ángulo OBC' = 90 - C ...

Por tanto podemos decir que CC' es la bisectriz del ángulo C' y que este vale C' = 180 - 2C

Las alturas del triángulo ABC son las bisectrices del triángulo A'B'C' cuyos ángulos valen respectivamente :

A' = 180 - 2A
B' = 180 - 2B
C' = 180 - 2C
Para el caso propuesto:
A' = 180 - 140 = 40
B' = 180 - 120 = 60
C' = 180 - 100 = 80

mano_dSolución de Saturnino Campos
Nos apoyaremos en las propiedades del triángulo órtico (triángulo formado por los pies de las alturas), a saber, las alturas del triángulo ABC son las bisectrices de su triangulo órtico A'B'C'. De ahí que sean iguales los ángulos sobre el lado BC, x = BA'C' y B'A'C. Y análogamente en los otros lados.
Según esto, si llamamos a, b y g a los ángulos en A, B y C respectivamente, la propiedad anterior nos lleva para cada uno de los tres triángulos (aparte del &órtico) que se forman en ABC a las siguientes ecuaciones:
x + y = 180 - b
x + z = 180 - g
y + z = 180 - a
sistema de ecuaciones que una vez resuelto nos proporciona las soluciones:
x = a;    y = g;    z = b

El ángulo en A' vale 2(90 - x) = 180 -2a; el ángulo en B' es 180 - 2b y finalmente el ángulo en C' vale 180 - 2g.

En el problema los valores de a, b y g son 70, 60 y 50, de lo anterior se obtienen, para el triángulo órtico, ángulos de 40, 60 y 80 respectivamente.


 
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