(#188) Bajo un ángulo constante
Se consideran en el plano un circulo de radio R y centro O y una recta r. La distancia de O a r es d >R. Se eligen puntos MN en r de forma que el circulo de diámetro MN sea tangente exterior al circulo dado. Demostrar que existe un punto A en el plano desde el que todos los segmentos MN, son vistos bajo un ángulo constante

mano_dSolución de F. Damián Aranda Ballesteros
Primera Parte
Primero ensayaremos con la siguiente posición notable de circunferencia tangente a la dada y cuyo centro pertenece a la recta r y al diámetro perpendicular. Esta situación notable no es otra que la siguiente:
En caso de existir el punto solicitado y que, en adelante vamos a llamar punto X, deberá ocurrir que, en concreto para la posiciónn de la circunferencia de diámetro MN y también tangente en N = A a la anterior circunferencia, deberá pasar que el punto X pertenecerá al lugar geométrico de los puntos que verifican la siguiente relación:
Construyamos en la siguiente figura este L.G. Para ello bastará construir la circunferencia de diámetro AY, donde el punto Y está en la recta r y cumple la relación antes mencionada:
En definitiva, y por razones de la simetría de la figura, consideramos de todos los puntos del círculo de Apolonio sólo la intersección con la mediatriz del segmento AB. Obtenemos así los puntos X, X' que como veremos más adelante cumplen las condiciones requeridas.

Segunda Parte
Para este fin, usaremos la geometría de coordenadas. Para ello, sea el sistema de referencia euclídeo determinado por los siguientes elementos:
EJE X: Recta r;
EJE Y: Mediatriz del segmento AB
Origen de coordenadas: Punto O, Intersección de los ejes X e Y.
De esta manera, los puntos M, M', N = A, O, B, E, por un lado y C, D, X, X' por otro, tendrán las siguientes coordenadas
O(0,0); C(0,d); D(0, d - R); A(-(d - R),0); B(d-R,0).

- Determinación del punto M'.
En el triángulo rectángulo en O, M'OC, tenemos que si rM' = M'A, entonces:

(rM + R)2 = d2 + (rM' + d - r)2
Por tanto

Obtengamos ahora el punto Y, el punto E, la circunferencia de Apolonio y, por fin, los puntos X y X'.
Del punto Y sabemos que se encuentra en la recta AB y que verifica
Desarrollando esta expresión obtenemos que y, sustituyendo dichas longitudes de segmentos llegamos al siguiente resultado: YB= 2R.
En definitiva, Y(d + R,0) y así el punto E tendrá de coordenadas E(R,0).
De este modo, la circunferencia de Apolonio tendrá de ecuación:

(x - R)2 + y2 = d2.
Vamos ahora a determinar los puntos de intersección de esta circunferencia con el EJE Y. Probaremos que estos son los puntos del plano para los cuales se ve bajo un mismo ángulo a los segmentos MN situados en la recta r y que son diámetros de circunferencias tangentes exteriores a la dada. Haremos el trabajo para el punto X, ya que el correspondiente al punto X' sería similar por estar ambos situados sobre el EJE Y de forma simétrica respecto del origen de coordenadas.

(1) Obtención de la circunferencia de diámetro ZZ', donde Z es un punto del eje de abscisas y Z' el punto sobre la recta AB de la transformada por la rotación de la recta ZX alrededor del punto X un ángulo igual a a.
Para ello primero veamos cuánto vale el ángulo a.
Como tenemos que


Sea un punto Z cualquiera dado sobre el semieje de abscisas positivo Z(a,0) y consideremos a efectos de cálculo que 0 a R (Para los puntos (a,0) tales que R a, el contacto con la circunferencia tangente a la dada se realiza interiormente y también cumpliría la propiedad, sólo que el ángulo ahora sería el suplementario de a).
Veamos que el giro de la recta ZX sobre el punto X con ángulo a determina el punto Z' sobre la recta AB. Obtendremos así la circunferencia de diámetro ZZ'.
Para ello, determinamos la ecuación de la Recta XZ'
Punto y Vector XZ'
Por tanto la Recta XZ' tendrá de ecuación:
y así conseguimos el punto La ecuación de la circunferencia de diámetro ZZ' será:

(2) Obtención de la circunferencia tangente a la dada de diámetro ZZ'' , donde Z es un punto del eje de abscisas dado y Z'' el punto diametralmente opuesto a Z.
Para este objetivo, consideremos el triángulo rectángulo en O formado por los vértices COZ.
Si llamamos rZ = ZZ''/2 entonces se verificará la siguiente igualdad pitagórica
Por tanto el centro de esta circunferencia tangente tendrá de abscisa
En definitiva, la circunferencia de diámetro ZZ'', tangente a la dada tiene de ecuación:
Observando la igualdad de las dos expresiones de las circunferencias obtenidas en (1) y (2), quedaría probado el resultado deseado.

Saludos de F. Damián Aranda Ballesteros (IES Blas Infante. Córdoba)

mano_dSolución deIgnacio Larrosa
Una solución trivial son todos los puntos de la recta r. Descartado este caso, llamemos X a un punto solución en la recta s perpendicular a r por O, y sea x la distancia QX.

Llamemos Q a la proyección de O sobre la recta R, A al extremo de un diametro paralelo a R y M' a la proyección de A en r. Sea también P el punto medio de M y N, C la intersección de la circunferencia dada con la recta s más próxima a r, y B el punto de intersección de r con la circunferencia de centro Q y radio QC, de manera que los vectores OA y QB tengan el mismo sentido.

Cuando P coincide con Q, el ángulo aMXN, que debe ser constante, es:

Por otra parte, cuando P se aleja de Q en el sentido del vector QB, el punto M se aproxima al M' y los puntos P y N se alejan hasta el infinito, siendo el ángulo con el que se ve el diámetro MN:
Tenemos por tanto,
Tenemos pues, dos puntos solución simétricos respecto a la recta r.
Para construir el punto X, trazamos la circunferencia de diámetro OQ, que cortara a la dada en T. Entonces OQ = d, OT = R y, por tanto Haciendo centro en Q con radio QT, determinamos el punto X sobre s.
zpolo.zip -46 Kb- Documento de Word
Desde aquí puedes bajarte la solución de Carlos E. Munñico. :-)
 
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