(#190) Caracterización de triángulos rectángulos
Caracterizar a los triángulos rectángulos rectángulos que tienen la siguiente propiedad: los catetos b y c son proporcionales con números naturales al radio r del círculo inscrito.

mano_dSolución de José L. Sánchez Garrido
Sin pérdida de generalidad, supongamos que el radio del círculo inscrito es 1. Las longitudes de los segmentos c = AB y b = AC son m y n respectivamente.
Las tangentes de B y C al incírculo miden por tanto m - 1 y n - 1, respectivamente, y la longitud de la hipotenusa es m + n - 2. Si requerimos que m y n sean enteros, entonces necesariamente ambos son mayores que 2.

Del Teorema de Pitágoras,

m2 + n2 = (m + n + 2)2 =
= (m + n)2 - 4 (m + n) + 4 =
= m2 + 2mn + n2 - 4 (m + n) + 4
Reordenando y simplificando:
Reordenando y simplificando:
Si
nunca es entero y por tanto m 4. Ahora bien, si m = 3, n = 4, y si m = 4, n = 3. Es decir, determinan el mismo triangulo, y la solución es única.
Por lo tanto, los triángulos rectángulos que satisfacen la propiedad enunciada son los semejantes al triángulo pitagórico de catetos 3 y 4.
Saludos
"I don't know"
Isaac Asimov
mano_dSolución de Saturnino Campos
Sean m y n números enteros mayores que 1 tales que b = m×r; c= n×r.
Por el teorema de Pitágoras se obtiene (1) Descomponiendo el triángulo dado en otros tres con el incentro como vértice común, resulta que el área del triángulo es igual al producto del semiperímetro p por el radio r del círculo inscrito. También es igual a la mitad del producto de los dos catetos. Tenemos pues
Como 2 p = a + b + c = a + r ×  (m + n), es
a + r × (m + n) = m × n × r
que permite despejar
a = r × [m × n - (m + n)] (2)
De (1) y (2) llegamos a
De (1) y (2) llegamos a = m × n - (m + n), ecuación en la que solamente intervienen los números naturales m y n. Elevando al cuadrado y sacando factor común se tiene m × n × [m × n - 2(m + n) + 2] = 0, como m y n son ambos mayores que 1, ha de ser cero el corchete: m × n - 2(m + n) + 2 = 0 de donde, despejando
Como m y n son enteros positivos, esa relación sólo tiene dos soluciones, m - 2 = 1 y m - 2 = 2 de donde se obtienen m = 3; n = 4 en el primer caso y m = 4; n = 3 en el segundo, que nos proporcionan un único triángulo: sus catetos son 3r y 4r y la hipotenusa es 5r.
Los triángulos buscados son aquellos que son semejantes al triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.

 
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