(#192) Piratas anuméricos
A su isla llegan 17 piratas para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro. Efectuado el reparto, sobra una moneda. Para que no sobre ninguna, los piratas deciden matar a uno de ellos y efectuar nuevamente el reparto. Efectuado éste vuelve a sobrar una moneda.
(a) ¿Cuál es el número mínimo de monedas que contiene el cofre?
(b) Conocido dicho número mínimo, ¿cuántos piratas morirán hasta que efectuado el reparto no sobre ninguna moneda?

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
a) Si es n tal número mÍnimo, debe ser n = 1 (mod 17) n = 1 (mod 16)
Una solución trivial de este par de congruencias es n = 1, pero es menor que 100. Pero 16 * 17 + 1 = 273, es la siguiente solución, pues evidentemente es igual a 1 mod 16 y mod 17, y ningún nuacute;mero menor puede serlo.

b) Como 273 = 3 * 7 * 13, el mayor divisor de 273 menor que 17 es 13. Deben morir por tanto en total 4 piratas para que el reparto sea exacto.


mano_dSolución de Jesús Escudero Martín
(Resuelto con Excel)

mano_dSolución de José L. Sánchez Garrido
Como mcd(17,16) = 1, el número mínimo de monedas es mcm(17, 16) + 1 = 273. Por supuesto, 1 moneda también es solución, pero la descartamos al pedir que el número sea mayor que 100.

Ahora bien, 13 | 273, por lo que moriran al menos 4 piratas (lo de al menos, si es que no se conforman con 21 monedas de oro cada uno :-))
Saludos


mano_dSolución de Juanma Molinero
a) El número de monedas total sería el mínimo común múltiplo de 17 y 16 (un pirata menos) que es 272 más una moneda. En total 273. Si sobra una en los dos casos se reparten 272 monedas, cuando son 17 piratas tocan a 16 monedas y cuando es un pirata menos, es decir 16 piratas, toca a 17 monedas a cada uno.

17 piratas x 16 monedas = 272 monedas + 1 = 273 monedas
16 piratas x 17 monedas = 272 monedas + 1 = 273 monedas

b) Hay que buscar un divisor de 273 y sería el 13. Morirían 4 piratas de los 17 y quedarían 13. Tocaría a 21 monedas a cada uno.

13 piratas x 21 monedas = 273 monedas
Un saludo. Juanma Molinero. Pamplona (Navarra)

mano_dSolución de Leo
Debe cumplirse: 17n + 1 = 16p + 1
Por lo tanto debe ser: 17n = 16p
Hallo el mínimo múltiplo común a 17 y 16 siendo mcm(17,16) = 272

Entonces: 17n = 272; 16p = 272
Por tanto el mínimo número de monedas a repartir es 17n + 1 = 16p + 1 = 273

Morirán en total 4 piratas: cuando queden 13 piratas el reparto ser&á exacto y corresponderán 21 monedas a cada uno.
Respuesta: el número mínimo de monedas que contiene el cofre es 273 y en ese caso morirán 4 piratas hasta que el reparto resulte exacto.


 
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