Premio Extraordinario de Bachillerato correspondiente al curso 1997/98. Sevilla.
Tiempo para su resolución 30 minutos.

Se tienen dos semicircunferencias iguales y tangentes S1 y S2 de modo que sus diámetros se encuentran en una misma recta.
Trazamos la tangente común r a ambas y dibujamos una circunferencia C1 tangente al mismo tiempo a r, S1 y S2. Luego trazamos otra circunferencia C2 que sea tangente al mismo tiempo a C1, S1 y S2. Así sucesivamente obtenemos una familia de circunferencias C1, C2, ... Cn, ...
  • 1. Determinar el radio r1 y r2 de las dos primeras circunferencias C1 y C2 en función del radio R de S1 y S2.
  • 2. Sabiendo que para todo natural n mayor o igual a 1 determinar el radio rn de la circunferencia Cn en función del radio R de S1 y S2.
  • 3. Utilizando la construcción geométrica del problema, determinar
  • 4. Para R = 1 cm calcular la suma de los diámetros de las n circunferencias C1, C2,..., Cn en función de n. Determinar su valor para n = 1999


  • Solución
    Apartado 1.
    Para la primera circunferencia
    (R + r 1) 2 = R 2 + (R - r 1) 2
    de donde r 1 = R/4
    Para la segunda circunferencia
    (R + r 2) 2 = R 2 + (R - 2 r 1 - r 2) 2
    de donde r 2 = R 2/12

    Apartado 2.
    Para la tercera circunferencia resulta:

    (R + r 3) 2 = R 2 + (R - 2 r 1 - 2 2 r 2 - r 3) 2
    de donde r 3 = R /24
    Es decir, obtenemos:
    r 1 = R /4 = R /(2 . 1. 2)
    r 2 = R /12 = R /(2 . 2 . 3)
    r 3 = R /24 = R /(2 . 3 . 4)
    etc.....
    Teniendo en cuenta la expresión facilitada en el problema, resulta
    r n = (R /2).(1 / [n.(n + 1) ]
    Apartado 3.
    Resolvemos el límite, teniendo en cuenta la construcción geométrica:
    Hemos de tener en cuenta que R = 2 r 1 + 2 r 2 + 2 r 3 + ... + 2 r n
    R = lim (2 r 1 + 2 r 2 + 2 r 3 + ... + 2 r n) =
    = 2 R/2 lim (r 1 + 2 r 2 + 2 r 3 + ... + 2 r n) =
    = R lim (1/2 + 1/(2.3) + 1/(2.4) + ...).

    Es decir, hemos llegado a la igualdad
    R = R lim (1/2 + 1/(2.3) + 1/(2.4) + ...).

    De donde se deduce que dicho límite vale 1.

    Apartado 4.
    Haciendo operaciones tenemos:

    S = 2 r 1 + 2 r 2 + 2 r 3 + ... + 2 r n =
    = R (1/2 + 1/(2.3) + 1/(2.4) + ... + 1/(n.(n+1)) =
    = R (1 - 1/ (n + 1))

    Luego S(1999) = R (1 - 1/2000) =R 1999/2000

     
       Circunferencias