NÚMEROS COMPLEJOS
Las ecuaciones del tipo x 2 + k = 0 con k0 no tienen solución en el conjunto de los números reales. Es decir, no existe ningún número real que elevado al cuadrado y sumándole una cantidad positiva de cero.
En particular la ecuación  x 2 + 1 = 0 no tiene solución en R. En el siglo XVI, y para obtener una solución de dicha ecuación, se introduce el símbolo que fue designado por Euler con la letra i (parece ser que de "imaginario") considerado como un símbolo ficticio y tal que i 2 = -1
  Lo Dijo...   Lo Dijo... Toda la teoría de los números complejos puede ser desarrolla aritméticamente sin utilizar representación geométrica ninguna; pero es útil mostrar que la creación de estos nuevos números ha sido en parte motivada por la necesidad de poder representar numéricamente los puntos de un plano, de igual modo que los números reales surgieron en la mente de los matemáticos para poder representar todos los puntos de una recta.
Antonio de Castro (Elementos)
Teniendo lo anterior en cuenta, podemos resolver la ecuación x 2 + 1 = 0
0 = x 2 + 1 = 0 = x 2 - i 2 = = (x - i)(x + i)
y considerar las soluciones + i y - i.

Expresiones de la forma 3 + 2i, 4i, etc. se denominaron números complejos y fueron Gauss y Hamilton quienes propusieron la idea de definir dichos números como pares ordenados.

Ecuaciones de la forma
x 2 + 3 = 0
pueden factorizarse

Se define la igualdad de números complejos como
(a,b) = (m,n) si y sólo si a = m y b = n

y la suma y el producto
Suma

(a,b) + (m,n) = (a + m, b + n)

Producto

(a,b)(m,n) = (am - bn, an + bm)
Dichas definiciones cumplen las propiedades básicas de las operaciones: conmutatividad, propiedad asociatica y distributiva (como fácilmente puede comprobarse). Además, el número complejo (0,0) es el elemento neutro respecto de la suma y (1,0) lo es respecto del producto.

Todo número complejo (a,b) tiene opuesto, que es el (-a,-b) y recíproco (salvo el (0,0)) que es pues

Dados los números complejos
z1 = (2,3) y z2 = (4,-2)
su suma es
z1 + z2 = (2,3) + (4, -2) = (6,1)
y su producto
z1 . z2 = (2,3) . (4, -2) = (14,8)
El opuesto de z1 es
- z1 = (-2,-3)
y el recíproco de z2 es
puesto que

El conjunto de los números complejos, es una extensión del conjunto de los números reales
Si es el conjunto de los números complejos y C0 = {(a,0)} un subconjunto de de éste podemos sumar y, multiplicar elementos de C0 y obtener elementos de C0.

En efecto:

(a,0) + (m,0) = (a + m,0)
(a,0).(m,0) = (am,0)

Es decir los elementos de C0 se comportan con respecto a la suma y el producto como elementos de R.

La aplicación

es uno a uno y además conserva las operaciones
f(k + k') = (k + k', 0) = (k,0) + (k',0) = f(k) + f(k')
f(k.k') = (k.k',0) = (k,0)(k',0) = f(k) f(k')

Resumiendo, C0 y R son isomorfos y C es una extensión de R (pues contienen a un subconjunto que es isomorfo con R).

Por tanto C tiene algunas propiedades que no tienen los números reales. Ya hemos visto que, por ejemplo, la ecuación x 2 + 1 = 0 tiene solución (que es el número complejo (0,1), pues

(0,1)2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0) = - 1 )
Dicho complejo (0,1) se denomina unidad imaginaria y se representa por i = (0,1)

Además podemos escribir

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1)
y designando (a,0) = a y (b,0) = b podemos esccribir el número complejo z = (a,b) como
z = (a,b) = a + bi
que facilita las operaciones con números complejos.
::: Continuará ::::
Los elementos de C0 se comportan respecto a las operaciones suma y producto como los números reales
(2,0) + (3,0) = (5,0)
(2,0).(3,0) = (6,0)
(-1,0) + (2,0) = (1,0)
(-1,0).(2,0) = (-2,0)

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