G.M. Historias
  Sobre los SANGAKU  
Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)

Investigando algunos textos selectos de geometría plana encontré tres teoremas que me llamaron profundamente la atención no tanto por su contenido (que por cierto es muy pero muy bueno) sino por sus nombres. Éstos son los llamados "Teoremas Japoneses" que se les conoce también con el nombre de "Teoremas de Mikami y Kobayashi" o también como "Problemas Sangaku". ¿Curiosos nombres verdad?. Estamos tan acostumbrados a oir nombres "occidentales" como el Teorema de Pitágoras, de Poncelet, de Steiner, entre otros, que nos parece raro que los japoneses hayan logrado avances considerables en el campo de la geometría a la par de sus colegas occidentales.

Sin embargo me preguntaba que significa la expresión "SANGAKU" asi que decidí investigar mas a fondo y para mi asombro descubrí problemas y teoremas muy interesantes relacionados a la geometría que estoy seguro a más de uno lo dejará asombrado.
Justamente el principal motivo de este trabajo es hacer un estudio sencillo y conciso sobre los "Problemas Sangaku". Pues bien, sin mayores preámbulos te invito a leerlo y deseo que te sea provechoso y útil a la vez.

¿Qué es un Sangaku?
Durante el Periodo EDO (1) (1603-1867) Japón se encontraba aislado del mundo occidental, durante este periodo el acceso a todas las formas de cultura occidental y afluencia de ideas científicas occidentales fue suprimido con eficacia. En este periodo de la historia japonesa gente docta de todas las clases,desde comerciantes y granjeros hasta samurais(¿?) descubrían y solucionaban una amplia variedad de problemas geométricos, luego inscribían sus trabajos en tablillas de madera, (usando en muchos casos vivos colores) que después eran colgadas en las azoteas de santuarios shintoistas y templos budistas como una forma de agradecer a sus dioses.

Llama la atención, en esta costumbre, el hecho de que los problemas tienen inscrita la respuesta mas no así la solución del mismo. Esto puede interpretarse como un desafío a otros geómetras algo así como: "Vea si Ud. puede probar esto". Pues bien la tablilla de madera es llamada "SANGAKU" que significa "Tablilla Matemática". Muchas tablillas son excepcionalmente hermosas como estas
Aunque la mayoría de problemas serían clasificados como matemáticas recreacionales o educativas algunos problemas reproducen los equivalentes japoneses de teoremas como el Teorema de Malfatti, el Teorema de Casey, el Teorema de Soddy y el Teorema de los círculos tangentes de Descartes (llamado también "fórmula de Descartes").
Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.
El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura (2) de Tochigi y es del año 1683.
Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas.
Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875-1950) quien en sus trabajos: "A history of Japanese mathematics" (Historia de las matematicas japonesas) de 1914 y "The Development of mathematics in China y Japon" (El Desarrollo de las Matemáticas en China y Japón) de 1974 realizó importantísimos estudios sobre estas tablillas matemáticas.
Hidetoshi Fukagawa es un matemático contemporáneo que ha viajado extensamente por todo el Japón para estudiar estas tablillas y tiene una prolífica colección de libros que se ocupan no sólo de los sangakus sino también de otros aspectos de las matemáticas japonesas.
En 1989 Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.
Otros matemáticos japoneses como Tatsuhiko Kobayashi y Shigeyuki Takagi también han hecho contribuciones importantes al desarrollo de los problemas sangakus.

Típicos Problemas Sangakus
Los problemas sangakus normalmente implican problemas de círculos dentro de círculos tangentes entre sí o bien círculos inscritos en otras figuras, como por ejemplo elipses. También hay problemas que tratan de esferas dentro de otras esferas u otras figuras también tangentes entre sí.
Este problema es de un sangaku que data de 1788 y fue hallado en la prefectura de Tokio.
Nos pide el radio del n-ésimo círculo azul en función del radio r del círculo verde.
Obsérvese que los círculos rojo oscuro son idénticos cada uno de radio r/2.
Este problema muestra el equivalente japonés de la "fórmula de los círculos tangentes de Descartes"
Conocido problema que ha sobrevivido desde 1824 en una tablilla de la prefectura de Gumma.
Los círculos anaranjado y azul se tocan en un sólo punto y son tangentes a una misma recta. El pequeño círculo rojo toca a ambos círculos y es también tangente a la misma recta.
Curioso problema que fue escrito en una tablilla aproximadamente en 1913 en la prefectura de Miyagi.
Tres cuadrados anaranjados se trazan según se muestra en el triángulo rectángulo grande de color verde. ¿Cómo se relacionan los radios de los tres círculos azules?
Este problema es de un sangaku encontrado en la prefectura de Gumma y que data de 1803.
La base de un triángulo isósceles descansa sobre el diámetro del círculo grande de color verde. Este diámetro también biseca al círculo rojo el cual esta inscrito de modo que toque exactamente el interior del círculo verde y un vértice del triángulo isósceles, como se muestra en la figura anterior.
El círculo azul está inscrito de modo que sea tangente al círculo rojo, al triángulo e interiormente al círculo verde.
Un segmento une el centro del círculo azul en el punto de intersección entre el círculo rojo y el triángulo isósceles.
Demuestre que este segmento es perpendicular al diámetro del círculo verde.
Interesante problema que proviene de una tablilla ubicada en la prefectura de Gumma y esta fechada en 1874. Un círculo grande de color azul esta dentro de un cuadrado. Cuatro círculos anaranjados más pequeños, cada uno de ellos de diferente radio, son tangentes al círculo azul asi como a las caras adyacentes del cuadrado.
¿Cuál es la relación de los radios de los cuatro círculos pequeños y la longitud del lado del cuadrado?
Este problema que data de 1822 está inscrito en una tablilla localizada en la prefectura de Kanagawa.
Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas. Cada esfera azul en el "collar" es tangente a sus vecinos próximos, a la vez que son tangentes a las dos esferas rojas y a la esfera verde.
¿Cuántas esferas azules conforman el collar?
¿Cómo los radios de las esferas azules se relacionan entre sí?

¿Se anima alguien a resolver estos problemas? Tómese su tiempo y buena suerte
Para que no sufras mucho, la solución de estos seis problemas sangaku lo encontrarás en: http://www.pourlascience.com/numeros/pls-249/rothman/rothmanbox1.htm de donde extraje valiosísima información para la elaboración de este trabajo. Un detalle... está en francés.


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