G.M. Historias
  Fórmula de los círculos tangentes de Descartes  
Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)

En una carta fechada en noviembre de 1643 dirigida a la princesa Elizabet de Bohemia el matemático francés René Descartes (1596-1650) desarrolló una fórmula que relacionaba la curvatura1 de cuatro círculos cada uno tangente a los otros tres. Descartes definió la curvatura de un círculo como el recíproco de su radio. Así por ejemplo si el radio de un círculo es 1/5 de otro círculo entonces su curvatura es 5 veces el del círculo grande. Una línea se considera un círculo de radio infinito y por tanto de CURVATURA CERO.

¿Pero que dice la fórmula?
Dado cuatro círculos de curvaturas Ra, Rb, Rc, y Rd, cada uno tangente a los otros tres, entonces se cumple que:
donde por definición de curvatura siendo Ra, Rb, Rc, y Rd, los radios de los círculos tangentes.

En 1842, Philip Beecroft, matemático aficionado inglés descubrió de manera independiente la misma fórmula.
Nuevamente en 1936 esta misma fórmula es redescubierta esta vez por nada menos que Frederick Soddy (1877-1956) quién en 1921 había ganado un premio Nóbel en física por su descubrimiento de los isótopos.
Soddy expresó esta fórmula en forma de un poema llamado " el beso exacto",que fue publicado en la revista científica NATURE el 20 de Junio de 1936 en la página 1021. A continuación se incluyen un extracto del poema original en inglés y la traducción que aparece en el artículo Esferas y semiesferas de Martín Gardner en su libro Circo Matemático (Alianza Editorial). Veamos:

The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero's bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.
Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.
Nótese que los dos primeros versos hacen clara referencia a los cuatro círculos cada uno tangentes a los otros tres.
El tercer y cuarto verso definen la curvatura del círculo.
Y el noveno y décimo verso es la expresión literal de la fórmula de Descartes.
Cabe resaltar el hecho de que los círculos tangentes mostrados en la figura 1 se les suele denominar los "Círculos de Soddy".
Como dato adicional fué Apolonio de Perga (260-180 A.C) quién estudió las propiedades de los círculos tangentes hace más de 2000 años.

Aplicación
Usando la fórmula de los círculos tangentes de Descartes demostrar el tercer teorema japonés


Tomando en cuenta que la línea tangente le corresponde curvatura cero entonces tendremos:
donde R1, R2, y R3, son las curvaturas de los tres círculos tangentes y por definición de curvatura
Sustituyendo estas curvaturas
Efectuando operaciones resulta
y teniendo en cuenta que
Operando y simplificando resulta
y finalmente
   l.q.q.d.


Huaral, 16 de mayo 2002
Julio A. Miranda Ubaldo Email: jmiub@yahoo.com


  Fórmula de los círculos tangentes de Descartes