G.M. Historias
  El teorema de Pitágoras.  

Manuscrito árabe del s.XIII

 Euclides I, 47
Moneda con la inscripción Pitágoras de SamosEuclides, en el Libro I de los Elementos proposición 47 demuestra el teorema de Pitágoras: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto.
Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED.
Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A continuación unimos A con M y C con P.
Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina (BP = AB y BM = BC)
Se verifica:
[Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´) =
= 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Por otra parte:
[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) =
= 1/2 [Área cuadrado BPQA]

Por tanto:
[Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] =
= 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.


Pitágoras
En la proposición 48 del Libro I de los Elementos, Euclides demuestra que Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto es decir el recíproco de la Proposición 47.
(Esta es la demostración que hace Euclides en los Elementos, aunque se han adoptado algunas notaciones actualizadas).
Sea el triángulo ABC y supongamos a 2 = b 2 + c 2
Tracemos por A una perpendicular a AC y sobre ella tomamos AD igual a AB. Unamos D con C.
Como DA = AB = c también lo serán sus cuadrados, es decir
DA 2 = AB 2 = c 2
Si sumamos b 2, tendremos
DA 2 + b 2 = c 2 + b 2
Pero
m 2 = DA 2 + b 2
(pues DAC es recto; p47) y
a 2 = b 2 + c 2
(por hipótesis), luego el cuadrado sobre el lado DC (es decir m 2) es equivalente al cuadrado sobre BC (es decir a 2), por lo que el lado DC será igual al lado BC.
Puesto que DA es igual a AB y AC es común DA y y AC serán iguales a BA y AC y la base DC igual a BC por lo que el ángulo DAC será igual a BAC, y como DAC es recto, el BAC también es recto.


Hipotenusadel griegoHipotenusa:
fijar, sujetar fuertemente una cosa a otra.
cateto (cateto) perpendicular, línea que cae a plomo.
OTRAS DEMOSTRACIONES, COMPROBACIONES, COMENTARIOS, etc. RELACIONADOS CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.
Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.
Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.
Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)
La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´
Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Apunte (#2).

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestra
Partimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior
El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es
4 ( 1/2 a b) = 2 a b
y un cuadrado interior de lado c y área c 2.
Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

0
Si las superficies S, S´ y S´´ son semejantes, entonces
Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)
Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras.
Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresión c 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros por resulta
de donde
Área (Semicírculo S) = Área (Semicírculo) + Área (SemicírculoS´´)

Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

El triángulo ABC es rectángulo en C.
  Teorema del cateto.   
En el triángulo ADC
En el triángulo BCA
Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella"
  Teorema de la altura.   
En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta:
h = m.tag(A) h = n.tag(B)
Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones
h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n
(pues
tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).

Es decir:
"En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"

  Teorema de Pitágoras.   
Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando resulta:
a 2 = c.n
b 2 = c.m
a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2


A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la hipotenusa (PT) y por P y T perependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los triángulos rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el triángulo rectángulo PST.
Apunte (#5).
En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c
Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/c de donde MN = a 2/c.
Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c

(A partir de estos datos podemos comprobar que

A T2 = A T3 + A T4
pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; ver Apunte (#3)).

La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4.
Evidentemente:

Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4)
Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando las expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.

Disección de Perigal
Apunte (#6). Disección de Perigal
H.Perigal En Wennington (Essex) está la abandonada tumba del matemático inglés Henry Perigal (1801/1898). En ella puede adivinarse la inscripción: "[...] estudioso e ingenioso geometrista. Investigó y enunció las leyes del movimiento circular compuesto. Querido y admirado por un gran número de parientes y amigos"
Se le atribuye una ingeniosa comprobación del teorema de Pitágoras. Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas paralela y perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado contruido sobre la hipotenusa.

Apunte (#7). Una demostración del teorema de Pitágoras atribuida a J. A. Garfield (vigésimo Presidente de los EEUU)
Uniendo los puntos M y N obtenemos un trapecio cuya área es:
(a + b)/2 . (a + b) = a 2/2 + b 2/2 + a.b

Por otra parte, dicha área es la suma de los tres triángulos rectágulos que lo determinan. Sumado dichas áreas:
(a.b)/2 + (a.b)/2 + c 2/2 = a.b + c 2/2
Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que
a 2/2 + b 2/2 = c 2/2
y simplificando resulta el teorema de Pitágoras.


Apunte (#8).
Con centro en O trazamos una semicircunferencia de radio c; consideramos un punto P y a partir de él construimos el triángulo rectángulo de lados a, b y c. (Primera figura)
A continuación construimos el triángulo MNP. Dicho triángulo es rectángulo y en él la altura relativa a la hipotenusa es a.
Dicha altura determina sobre la hipotenusa los segmentos c + b y c - b. Aplicando el teorema de la altura (Apunte #4) resulta:
a 2 = (c + b).(c - b) = c 2 - b 2
es decir c 2 = a 2 + b 2

Apunte (#9). El Teorema de Pitágoras en el espacio. Facilitada por José Carrión
D 2 = c 2 + d 2
d 2 = a 2 + b 2
D 2 = a 2 + b 2 + c 2
Teorema de Pitágoras en el espacio

Apunte (#10). Expresión vectorial del teorema de Pitágoras
(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)
Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean ortogonales es que

|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2

siendo la norma del vector x.
De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por él mismo).
Demostración
|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y

Luego



Apunte (#11).
Comparando cuadrados
A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa c y catetos a y b, construimos los cuadrados de lados a + b tal como aparecen en la figura primera.

El primer cuadrado está formado por cuatro triángulos iguales (T1, T2, T3, T4) y por un cuadrado de lado c, por lo que su área es

c 2 + 4 A(T)
siendo A(T) el área de uno cualquiera de los triángulos.

El segundo cuadrado está formado por dos cuadrados de lados a y b y los triángulos T1, T2, T3 y T4 y su área es

a 2 + b 2 + 4 A(T)

Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que

c 2 = a 2 + b 2



Esta es una de las más intuitivas demostraciones del teorema de Pitágoras y, posiblemente, una de las que utilizaran los pitagóricos.

Apunte (#12) Rompecabezas.

Si trazamos en cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos una diagonal y una paralela a la hipotenusa c del triángulo rectángulo obtenemos ocho triángulos con los que podemos recubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Expresemos las áreas de cada uno de estos triángulos en función de los lados a, b y c del triángulo rectángulo.
Por definición
sen (δ) = b/c;    cos (δ) = a/c
Por otra parte, debido a la igualdad de los triángulos obtenidos bastará calcular las áreas de, por ejemplo, los triángulos 1, 2, 5 y 6.
Aplicando el teorema del seno al triángulo 1 resulta
de donde
Desarrollando sen (135 - δ) obtenemos
sen (135 - δ) = sen (135) cos (δ) - sen (δ) cos (135) = sen (45) cos (δ) + sen (δ) cos (45)
es decir

a = b
Sustituyendo en el valor de x obtenido anteriormente
y el área del triángulo 1 es
El área del triángulo 2 es
Anáalogamente resulta:
Puede comprobarse que

Apunte (#13) Kou ku.
Uno de los primeros libros chinos dedicados a la matemática y la astronomía es el Chou Pei (aprox. 300 a.C.). En él se hece referencia al teorema de Pitágoras (kou ku) mediante una comprobación.
A partir de la figura, un cuadrado de lado 7, si retiramos los cuatro triángulos de las esquinas (dos rectángulos de área total 2 ×(3 × 4) = 24 unidades cuadradas) queda un cuadrado de lado 25 unidades cuadradas. Por lo tanto su lado es 5.
Entonces
(3 + 4) 2 - 2 ×(3 × 4) = 3 2 + 4 2 = 5 2

Durante el siglo III esta comprobación fué fundamentada por varios matemáticos chinos. Una de ellas es la siguiente.

Si el lado más corto (kou) es a, el más largo (ku) es b y la diagonal (shian) es c resulta:

c 2 = área(GHEF) = área(LIJK) + 2 ×(a × b) =
= área(LIJK) + área(GLFD) + área(KECF) =
= área(APLG) + área(PBEK) = a 2 + b 2



Número Áureo

Apunte (#14) Triángulos rectángulos en la proporción áurea
Supongamos un triángulo rectángulo ABC y a partir de él construimos otro triángulo rectángulo tomando como hipotenusa el cateto mayor del dado y como cateto mayor el cateto menor del triángulo rectángulo considerado. Impongamos la condición de que ambos tengan los mismos ángulos.
Entonces ambos triángulos rectángulos serán semejantes y se verificará

Determinando R
Puesto que el triángulo 2 ha de ser rectángulo
a 2 = c 2 + p 2
y de (#1)
Mediante el cambio de variable R 2 = t   resulta t 2 - t - 1 = 0 cuyas soluciones son siendo el número áureo. Entonces
Por la naturaleza del problema consideramos
Supongamos b = k 0 > 0.
De (#1) tendremos
de donde
Los triángulos de la forma
son triángulos rectángulos.
Valor del águlo δ
En el triángulo 1
independientemente del valor de b = k 0
Nuevamente de (#1) resulta por lo que
También los triágulos de la forma
son rectángulos, tienen los mismos ángulos que los anteriores y están con ellos en la proporción 1/R.
Si k 0 = los triángulos rectángulos y son semejantes y están en la proporción 1/R.

Una apostilla de Fco. Javier Asencor
En el Apunte #14 se hace un estudio interesante sobre el triángulo rectángulo cuyos lados toman los valores donde representa el número áureo.
Donde aparece el número áureo siempre hay sorpresas en forma de relaciones con cierta belleza. Es un número que por sí solo puede sostener una publicación. Un ejemplo es este triángulo.
Puede agregarse alguna consideración que aumenta la fascinación de este triángulo (o sus semejantes).
Si multiplicamos los lados por , podemos escribir la terna como
Una forma en que los exponentes nos recuerdan definitivamente a la más famosa terna de los triángulos rectángulos, (3, 4, 5)
Esto admite la siguiente consideración:
Si nos proponemos encontrar el triángulo rectángulo cuyo cateto mayor sea la media aritmética entre la hipotenusa y el otro cateto encontramos el familiar (3, 4, 5) o semejantes.
Si el propósito es idéntico, pero con la media geométrica, encontramos éste.
Una aparición geométrica:
Sobre el primer cuadrante de unas coordenadas cartesianas trazamos el semicírculo de radio unidad y centro en eje Y distante la unidad del centro. Por supuesto resulta tangente al eje X. Este semicirculo admite infinitas tangentes, de las cuales las que se tracen "por arriba" es decir con pendiente negativa se cortan con ambos ejes. La longitud del segmento determinado por estos cortes dependen del punto de tangencia. Pueden tener cualquier longitud por encima de cierto valor, es decir existe una que es mínima.
El triángulo formado por el origen de coordenadas y los cortes en los ejes, forman un triángulo rectángulo que se corresponde exactamente con la terna propuesta arriba. El número aparece también en las coordenadas del punto de tangencia....
El triangulo superior, por encima de la ordenada se corresponde con la primera terna aquí mencionada: ... y si seguimos mirando: más cosas

El matemático indio Bhaskara hizo una reconstrucción del teorema de Pitágoras a la que sólo le añadió la palabra ¡MIRA! de forma que a partir de la observación de la figura se pudiera reconstruir el teorema. Esta reconstrucción aparece en su obra VijaGanita (en la que por primera vez aparece la división de un número (distinto de 0) por cero.

Su obra Lilavati contiene varios problemas relacionados con el teorema de Pitágoras como los siguientes:

Apunte (#15) Bhaskara (1114-1185)
El bambú roto
Si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura del suelo se rompió?
El pavo real y la culebra
Un paco real se encuentra posado en el extremo de un poste vertical en cuya base hay un agujero de culebra; observando la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, el pavo real se lanza sobre ella en linea recta mientras la culebra intenta ganar su agujero. Si el paco real captura a la culebra cuando ambos han recorrido exactamente la misma distancia, ¿a cuántos codos de distancia del agujero se produjo la captura?


  El teorema de Pitágoras