G.M. Historias
  Trigonometría Hiperbólica.  
Unas combinaciones particulares de la función exponencial da lugar a un interesante tipo de funciones denominadas funciones hiperbólicas presentes en muchas ramas de la ciencia.

Se definen las funciones hiperbólicas, que denominaremos coseno hiperbólico y seno hiperbólico como

cosh.gif senh.gif

El punto P(x,y), siendo


describe la rama derecha de la hipébola.
Para t = 0 resulta P(x,y) = (0,0); para valores de t positivos dicho a punto recorre la rama superior (rama derecha azul);
para valores de t negativos la inferior (en rojo).
El punto Q(-x,y) recorrerá la rama izquierda de la hipérbola.

y = tagh(x)
La gráfica de la función y = tagh(x)
Ambas, están relacionadas de forma parecida a como se relacionan las funciones trigonométricas usuales. Lo mismo que aquellas se identifican con un punto sobre la circunferencia goniométrica (de radio unidad) x 2 + y 2 = 1) estas se identifican con un punto P(x, y) de la hipérbola unidad: x 2 - y 2 = 1)
En efecto, basta comprobar, con un poco de cálculo, que el punto dado por P(cosh(x), senh(x)) verifica dicha expresión. De ahí resulta que

   cosh(x) 2 - senh(x) 2 = 1   

en lugar de la popular expresión fundamental de la trigonometría sobre la circunferencia.
Las gráficas de dichas funciones se deducen fácilmente a partir de las funciones exponenciales y son
funciones hiperbólicas

En dichas gráficas puede observarse que la función y = cosh(x) es una función par (simétrica respecto del eje de ordenadas), y que y = senh(x) es impar (simétrica respeco del origen). Es importante observar que estas funciones no son, como ocurre con las funciones trigonométricas, periódicas.

Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas
Comparación entre las gráficas de las funciones exponenciales e x y e - x con las gráficas de las funciones hiperbólicas y = cosh(x) e y = senh(x)

A partir de la definición, y con algo de cálculo, podemos obtener
   senh(x + y) = senh(x)cosh(x) + cosh(x)senh(y)   
   cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y)   

Haciendo y = x tendremos

   senh(2x) = 2senh(x)cosh(y)   
   cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)   

De las expresiones

(1)   1 = cosh 2(x) - sen 2(x)
(2)   cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)

obtenemos, sumando
1 + cosh(x) = 2cosh 2(x)
y despejando cosh(x) resulta igualdad lógicamente equivalente a

Restando las expresiones (1) y (2) y despejando, resultará


  Trigonometría Hiperbólica